题目
5-8 某校有1000名学生，每人以80%的概率去图书馆自习，问图书馆至少应设多少座位，才能以至少99%的概率保证去上自习的同学都有座位.
5-8 某校有1000名学生，每人以80%的概率去图书馆自习，问图书馆至少应设多少座位，才能以至少99%的概率保证去上自习的同学都有座位.
题目解答
答案
设去图书馆自习的学生人数为 $X$，则 $X$ 服从二项分布 $B(1000, 0.8)$。期望 $E(X) = 800$，方差 $D(X) = 160$。由中心极限定理，$X$ 近似服从正态分布 $N(800, 160)$。
求最小座位数 $k$，使 $P(X \leq k) \geq 0.99$。标准化得：
\[
P\left(Z \leq \frac{k - 800}{\sqrt{160}}\right) \geq 0.99
\]
查表得 $P(Z \leq 2.33) \approx 0.99$，则：
\[
\frac{k - 800}{\sqrt{160}} \geq 2.33 \Rightarrow k \geq 800 + 2.33 \times \sqrt{160} \approx 829.4955
\]
取整数 $k = 830$。
**答案：** $\boxed{830}$
解析
步骤 1：定义随机变量
设去图书馆自习的学生人数为 $X$，则 $X$ 服从二项分布 $B(1000, 0.8)$。其中，$n=1000$ 为学生总数，$p=0.8$ 为每个学生去图书馆自习的概率。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望 $E(X) = np = 1000 \times 0.8 = 800$，方差 $D(X) = np(1-p) = 1000 \times 0.8 \times 0.2 = 160$。
步骤 3：应用中心极限定理
由于 $n$ 较大，根据中心极限定理，$X$ 近似服从正态分布 $N(800, 160)$。我们需要求最小座位数 $k$，使 $P(X \leq k) \geq 0.99$。
步骤 4：标准化并查表
标准化得：\[ P\left(Z \leq \frac{k - 800}{\sqrt{160}}\right) \geq 0.99 \] 查标准正态分布表得 $P(Z \leq 2.33) \approx 0.99$，则：\[ \frac{k - 800}{\sqrt{160}} \geq 2.33 \Rightarrow k \geq 800 + 2.33 \times \sqrt{160} \approx 829.4955 \] 取整数 $k = 830$。
设去图书馆自习的学生人数为 $X$，则 $X$ 服从二项分布 $B(1000, 0.8)$。其中，$n=1000$ 为学生总数，$p=0.8$ 为每个学生去图书馆自习的概率。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望 $E(X) = np = 1000 \times 0.8 = 800$，方差 $D(X) = np(1-p) = 1000 \times 0.8 \times 0.2 = 160$。
步骤 3：应用中心极限定理
由于 $n$ 较大，根据中心极限定理，$X$ 近似服从正态分布 $N(800, 160)$。我们需要求最小座位数 $k$，使 $P(X \leq k) \geq 0.99$。
步骤 4：标准化并查表
标准化得：\[ P\left(Z \leq \frac{k - 800}{\sqrt{160}}\right) \geq 0.99 \] 查标准正态分布表得 $P(Z \leq 2.33) \approx 0.99$，则：\[ \frac{k - 800}{\sqrt{160}} \geq 2.33 \Rightarrow k \geq 800 + 2.33 \times \sqrt{160} \approx 829.4955 \] 取整数 $k = 830$。