题目

设 A、B 为两件事件，已知 P A. =0.3，则有(）A. P(B|A)+P(overline(B)|overline(A))=1B. P(B|A)+P(B|overline(A))=1C. P(B|A)+P(overline(B)|A)=1D. PB. =0.7 已知 (X_1,X_2,L X_(50)) 为来自总体 X: N(2,4) 的样本，记 overline(X)=(1)/(50)sum_(i=1)^50X_i 则 (1)/(4)sum_(i=1)^50(X_i-overline(X))^2 服从的分布为(） A. X: N(2,(4)/(50))B. X: N((2)/(50),4)C. chi^2 D.chi^2 设连续型随机变量 xi 的分布函数为 F(x)=} 0, & x< a, x^2+c, & aleq x< b, 1, & xgeq b. =(1)/(4)，则 a,b,c 的取值分别为(） A. a=0,b=1,c=0B. a=0,b=2,c=-4C. a=1,b=2,c=-3D. a=0,b=2,c=0 设总体 Xsim N(mu,sigma^2)，其中 mu 未知，(X_1,X_2,X_3,X_4) 为来自总体 X 的一个样本，则以下关于 mu 的三个无偏估计: hat(mu)_1=(1)/(4)(X_1+X_2+X_3+X_4) hat(mu)_2=(1)/(5)X_1+(1)/(5)X_2+(1)/(5)X_3+(2)/(5)X_4 hat(mu)_3=(1)/(6)X_1+(2)/(6)X_2+(2)/(6)X_3+(1)/(6)X_4 哪一个更有效？(） A. hat(mu)_1B. hat(mu)_2C. hat(mu)_3D. 无法比较

设 $A$、$B$ 为两件事件，已知 $P

  • A. =0.3$，则有(）
  • A. $P(B|A)+P(\overline{B}|\overline{A})=1$
  • B. $P(B|A)+P(B|\overline{A})=1$
  • C. $P(B|A)+P(\overline{B}|A)=1$
  • D. $P
  • B. =0.7$

已知 $(X_1,X_2,\L X_{50})$ 为来自总体 $X: N(2,4)$ 的样本，记 $\overline{X}=\frac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}X_i$ 则 $\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{50}(X_i-\overline{X})^2$ 服从的分布为(）

  • A. $X: N(2,\frac{4}{50})$
  • B. $X: N(\frac{2}{50},4)$
  • C. $\chi^2

$

D.$\chi^2

$

设连续型随机变量 $\xi$ 的分布函数为 $F(x)=\begin{cases} 0, & x< a, \\ x^2+c, & a\leq x< b, \\ 1, & x\geq b. \end{cases}$

且已知 $P\{\xi\leq\frac{1}{2}\}=\frac{1}{4}$，则 $a,b,c$ 的取值分别为(）

  • A. $a=0,b=1,c=0$
  • B. $a=0,b=2,c=-4$
  • C. $a=1,b=2,c=-3$
  • D. $a=0,b=2,c=0$

设总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，其中 $\mu$ 未知，$(X_1,X_2,X_3,X_4)$ 为来自总体 $X$ 的一个样本，则以下关于 $\mu$ 的三个无偏估计:

$\hat{\mu}_1=\frac{1}{4}(X_1+X_2+X_3+X_4)$

$\hat{\mu}_2=\frac{1}{5}X_1+\frac{1}{5}X_2+\frac{1}{5}X_3+\frac{2}{5}X_4$

$\hat{\mu}_3=\frac{1}{6}X_1+\frac{2}{6}X_2+\frac{2}{6}X_3+\frac{1}{6}X_4$

哪一个更有效？(）

  • A. $\hat{\mu}_1$
  • B. $\hat{\mu}_2$
  • C. $\hat{\mu}_3$
  • D. 无法比较

题目解答

答案

1. **选项分析** 由条件概率公式，仅选项C满足 $P(B|A) + P(\overline{B}|A) = 1$，其他选项不成立。 **答案：C** 2. **样本方差分布** 样本方差 $\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{50} (X_i - \overline{X})^2$ 服从自由度为 $n-1=49$ 的卡方分布。 **答案：D** 3. **分布函数连续性** 由 $F(x)$ 连续性得 $a^2 + c = 0$，$b^2 + c = 1$，且 $F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} + c = \frac{1}{4}$，解得 $a=0$，$b=1$，$c=0$。 **答案：A** 4. **无偏估计有效性** 计算方差： $Var(\hat{\mu}_1) = \frac{\sigma^2}{4}$，$Var(\hat{\mu}_2) = \frac{7}{25}\sigma^2$，$Var(\hat{\mu}_3) = \frac{5}{18}\sigma^2$。 $\hat{\mu}_1$ 方差最小，最有效。 **答案：A** \[ \boxed{ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ C & D & A & A \\ \end{array} } \]

解析

第一题：考查条件概率的基本性质。关键点在于理解条件概率的加法公式，即对于同一条件下的互补事件，概率之和为1。

第二题：考查样本方差的分布。核心思路是利用卡方分布的定义，明确样本方差的标准化形式及自由度。

第三题：考查分布函数的连续性及参数求解。破题关键是分布函数在分段点处的连续性条件，以及已知概率值的代入。

第四题：考查无偏估计的有效性比较。核心方法是计算各估计量的方差，方差最小者更有效。

第一题

条件概率性质

根据条件概率定义，$P(B|A) + P(\overline{B}|A) = 1$，因为$B$与$\overline{B}$互斥且穷尽所有可能。其他选项中，$P(B|A)$与$P(B|\overline{A})$或$P(\overline{B}|\overline{A})$的和无必然联系。

第二题

样本方差的卡方分布

样本方差公式为 $\frac{1}{n-1}\sum (X_i - \overline{X})^2$，服从 $\chi^2(n-1)$。题目中 $\frac{1}{4}\sum (X_i - \overline{X})^2$ 可变形为 $\frac{4}{n-1} \cdot \text{样本方差}$，仍服从 $\chi^2(49)$。

第三题

分布函数连续性

  1. 分段点连续性：在$x=a$处，$0 = a^2 + c \Rightarrow c = -a^2$；
  2. 已知概率条件：$F\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + c = \frac{1}{4} \Rightarrow c = 0$，故$a=0$；
  3. 最终点条件：$b^2 + c = 1 \Rightarrow b=1$。

第四题

方差计算

  1. $\hat{\mu}_1$ 方差：$\frac{1}{4} \cdot 4\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{4}$；
  2. $\hat{\mu}_2$ 方差：$\frac{1}{5^2}(1+1+1+4)\sigma^2 = \frac{7}{25}\sigma^2$；
  3. $\hat{\mu}_3$ 方差：$\frac{1}{6^2}(1+4+4+1)\sigma^2 = \frac{10}{36}\sigma^2 = \frac{5}{18}\sigma^2$。
    比较得 $\hat{\mu}_1$ 方差最小。