12.设f(x)=sin x+5lim_(xto(pi)/(2))f(x)，则f(x)=___.（3分）

题目分析

已知函数表达式为：
$f(x) = \sin x + 5 \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x)$

我们需要求出 $f(x)$ 的具体表达式。

解题步骤

1. 识别极限项

观察等式可以发现，$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x)$ 是一个当 $x$ 趋近于 $\frac{\pi}{2}$ 时的极限值。因为 $x \to \frac{\pi}{2}$ 是一个特定的过程，这个极限的结果是一个常数。

我们可以设这个常数为 $A$，即：
$A = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x)$

2. 将常数代入原式

将 $A$ 代入原方程中，函数 $f(x)$ 可以表示为：
$f(x) = \sin x + 5A$

3. 求极限 $A$

根据 $A$ 的定义，我们对 $f(x)$ 在 $x \to \frac{\pi}{2}$ 时求极限：
$A = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sin x + 5A)$

由于 $5A$ 是常数，$\sin x$ 在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处是连续的，所以：
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin x = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

因此，极限等式可以写为：
$A = 1 + 5A$

4. 解方程求 $A$

现在我们来解这个关于 $A$ 的一元一次方程：
$A = 1 + 5A$
$A - 5A = 1$
$-4A = 1$
$A = -\frac{1}{4}$

5. 得出最终函数

将求得的常数 $A = -\frac{1}{4}$ 代回 $f(x)$ 的表达式中：
$f(x) = \sin x + 5 \times \left(-\frac{1}{4}\right)$
$f(x) = \sin x - \frac{5}{4}$

最终答案

$f(x) = \sin x - \frac{5}{4}$