题目

(27.5题)若随机变量()的联合概率密度为: ()-|||-f(x,y)= ) 2y,0lt x,ylt 1 0, else .-|||-则X与Y不相关且独立。-|||-(判断题)-|||-A 对-|||-B 错

题目解答

答案

解析

本题考查随机变量的独立性和相关性的判断，解题思路是先根据联合概率密度函数求出边缘概率密度函数，通过判断联合概率密度函数是否等于边缘概率密度函数的乘积来确定随机变量是否独立，再通过计算协方差判断随机变量是否相关。

  1. 求$X$的边缘概率密度函数$f_X(x)$：
    根据边缘概率密度函数的定义，$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$。
    已知$f(x,y)=\begin{cases}2y, & 0\lt x,y\lt 1 \\ 0, & \text{else} \end{cases}$，当$0\lt x\lt 1$时，$f_X(x)=\int_{0}^{1}2ydy$。
    根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$），可得$\int_{0}^{1}2ydy=2\times\frac{1}{2}y^2\big|_0^1=1$；当$x\notin(0,1)$时，$f(x,y)=0$，所以$f_X(x)=0$。
    综上，$f_X(x)=\begin{cases}1, & 0\lt x\lt 1 \\ 0, & \text{else} \end{cases}$。
  2. 求$Y$的边缘概率密度函数$f_Y(y)$：
    同理，$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$。
    当$0\lt y\lt 1$时，$f_Y(y)=\int_{0}^{1}2y dx=2y\int_{0}^{1}dx=2y\times x\big|_0^1 = 2y$；当$y\notin(0,1)$时，$f(x,y)=0$，所以$f_Y(y)=0$。
    综上，$f_Y(y)=\begin{cases}2y, & 0\lt y\lt 1 \\ 0, & \text{else} \end{cases}$。
  3. 判断$X$与$Y$是否独立：
    若$X$与$Y$独立，则$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$。
    当$0\lt x,y\lt 1$时，$f_X(x)f_Y(y)=1\times2y = 2y=f(x,y)$；当$x\notin(0,1)$或$y\notin(0,1)$时，$f_X(x)f_Y(y)=0=f(x,y)$。
    所以$X$与$Y$相互独立。
  4. 判断$X$与$Y$是否相关：
    若$X$与$Y$不相关，则$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$。
    • 计算$E(X)$：
      根据期望公式$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)dx$，可得$E(X)=\int_{0}^{1}x\times1dx=\frac{1}{2}x^2\big|_0^1=\frac{1}{2}$。
    • 计算$E(Y)$：
      根据期望公式$E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}yf_Y(y)dy$，可得$E(Y)=\int_{0}^{1}y\times2y dy=2\int_{0}^{1}y^2 dy=2\times\frac{1}{3}y^3\big|_0^1=\frac{2}{3}$。
    • 计算$E(XY)$：
      根据期望公式$E(XY)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xyf(x,y)dxdy$，可得$E(XY)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}xy\times2y dxdy=2\int_{0}^{1}y^2 dy\int_{0}^{1}x dx=2\times\frac{1}{3}y^3\big|_0^1\times\frac{1}{2}x^2\big|_0^1=\frac{1}{3}$。
    • 计算$Cov(X,Y)$：
      $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}=0$。
      所以$X$与$Y$不相关。