题目

设随机变量 X,Y,Z 相互独立,且 X sim P(2),Y sim U(0,2),Z sim N(0,2),设 T = X - 2Y - Z + 1 ,求 E(T), D(T).

设随机变量 $X,Y,Z$ 相互独立,且 $X \sim P(2),Y \sim U(0,2),Z \sim N(0,2)$,设 $T = X - 2Y - Z + 1$ ,求 $E(T), D(T)$.

题目解答

答案

设随机变量 $X, Y, Z$ 相互独立，且 $X \sim P(2)$，$Y \sim U(0, 2)$，$Z \sim N(0, 2)$。令 $T = X - 2Y - Z + 1$，求 $E(T)$ 和 $D(T)$。

解：

  1. 计算 $E(T)$：
    由期望的线性性质：
    $E(T) = E(X) - 2E(Y) - E(Z) + E(1)$
    其中，$E(X) = 2$（泊松分布参数），$E(Y) = \frac{0+2}{2} = 1$（均匀分布期望），$E(Z) = 0$（正态分布均值），$E(1) = 1$（常数期望）。
    代入得：
    $E(T) = 2 - 2 \times 1 - 0 + 1 = 1$

  2. 计算 $D(T)$：
    由方差性质（独立变量线性组合）：
    $D(T) = D(X) + (-2)^2D(Y) + (-1)^2D(Z)$
    其中，$D(X) = 2$（泊松分布方差），$D(Y) = \frac{(2-0)^2}{12} = \frac{1}{3}$（均匀分布方差），$D(Z) = 2$（正态分布方差）。
    代入得：
    $D(T) = 2 + 4 \times \frac{1}{3} + 2 = \frac{16}{3}$

答案：
$\boxed{\begin{cases}E(T) = 1 \\D(T) = \frac{16}{3}\end{cases}}$

解析

本题主要考查随机变量的期望和方差的性质，以及常见分布（泊松分布、均匀分布、正态分布）的期望和方差公式。解题思路如下：

  1. 首先，根据期望的线性性质计算$E(T)$。期望的线性性质为：对于任意随机变量$X_1,X_2,\cdots,X_n$和常数$a_1,a_2,\cdots,a_n,b$，有$E(a_1X_1 + a_2X_2+\cdots+a_nX_n + b)=a_1E(X_1)+a_2E(X_2)+\cdots+a_nE(X_n)+b$。
  2. 然后，根据方差的性质计算$D(T)$。当随机变量$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立时，对于常数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，有$D(a_1X_1 + a_2X_2+\cdots+a_nX_n)=a_1^2D(X_1)+a_2^2D(X_2)+\cdots+a_n^2D(X_n)$。
  3. 最后，分别找出$X$、$Y$、$Z$对应的常见分布的期望和方差，代入上述公式进行计算。

计算$E(T)$

已知$T = X - 2Y - Z + 1$，根据期望的线性性质可得：
$E(T)=E(X)-2E(Y)-E(Z)+E(1)$

  • 因为$X\sim P(2)$（泊松分布），对于泊松分布$X\sim P(\lambda)$，其期望$E(X)=\lambda$，所以$E(X) = 2$。
  • 因为$Y\sim U(0,2)$（均匀分布），对于均匀分布$Y\sim U(a,b)$，其期望$E(Y)=\frac{a + b}{2}$，所以$E(Y)=\frac{0 + 2}{2}=1$。
  • 因为$Z\sim N(0,2)$（正态分布），对于正态分布$Z\sim N(\mu,\sigma^2)$，其期望$E(Z)=\mu$，所以$E(Z) = 0$。
  • 对于常数$c$，其期望$E(c)=c$，所以$E(1) = 1$。

将上述值代入$E(T)$的表达式可得：
$E(T)=2-2\times1 - 0+1=1$

计算$D(T)$

已知$T = X - 2Y - Z + 1$，由于常数的方差为$0$，即$D(1)=0$，且$X$、$Y$、$Z$相互独立，根据方差的性质可得：
$D(T)=D(X)+(-2)^2D(Y)+(-1)^2D(Z)$

  • 因为$X\sim P(2)$（泊松分布），对于泊松分布$X\sim P(\lambda)$，其方差$D(X)=\lambda$，所以$D(X) = 2$。
  • 因为$Y\sim U(0,2)$（均匀分布），对于均匀分布$Y\sim U(a,b)$，其方差$D(Y)=\frac{(b - a)^2}{12}$，所以$D(Y)=\frac{(2 - 0)^2}{12}=\frac{1}{3}$。
  • 因为$Z\sim N(0,2)$（正态分布），对于正态分布$Z\sim N(\mu,\sigma^2)$，其方差$D(Z)=\sigma^2$，所以$D(Z) = 2$。

将上述值代入$D(T)$的表达式可得：
$\begin{align*} D(T)&=2 + 4\times\frac{1}{3}+2\\ &=4+\frac{4}{3}\\ &=\frac{12 + 4}{3}\\ &=\frac{16}{3} \end{align*}$