判断正态随机变量的函数仍然服从正态分布。A. 正确B. 错误

本题考查正态分布的性质以及对随机变量函数分布的理解。解题的关键在于明确正态随机变量经过函数变换后，其分布不一定保持为正态分布，可通过举反例来进行判断。

设 $X$ 是一个服从正态分布 $N(\mu,\sigma^{2})$ 的随机变量，即 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$。现在考虑一个简单的函数 $Y = X^{2}$。

• 取值范围分析：
  • 因为任何实数的平方都大于等于 $0$，所以 $Y = X^{2}\geqslant0$。
  • 而正态分布 $N(\mu,\sigma^{2})$ 的取值范围是 $(-\infty,+\infty)$，这意味着 $Y$ 的取值范围与正态分布的取值范围不同。
• 分布形状分析：
  • 正态分布的概率密度函数是关于均值 $\mu$ 对称的钟形曲线。
  • 对于 $Y = X^{2}$，其概率分布不再具有正态分布那种对称的钟形形状。例如，当 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$ 时，$Y = X^{2}$ 服从自由度为 $1$ 的卡方分布 $\chi^{2}(1)$，卡方分布的概率密度函数是右偏的，与正态分布的形状明显不同。

由此可见，正态随机变量的函数不一定服从正态分布。