题目

填空题（共10题，30.0分） 19.（3.0分）【填空题】lim_(xtoinfty)(x^2-5x)/(7x^3)+x-3=____

填空题（共10题，30.0分） 19.（3.0分）【填空题】$\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-5x}{7x^{3}+x-3}=$____

题目解答

答案

为了求解极限 $\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-5x}{7x^{3}+x-3}$，我们可以使用极限的性质和技巧，特别是对于有理函数在无穷大时的极限。有理函数在无穷大时的极限取决于分子和分母的最高次幂。 1. 确定分子和分母的最高次幂： - 分子的最高次幂是 $x^2$。 - 分母的最高次幂是 $x^3$。 2. 由于分母的最高次幂大于分子的最高次幂，当 $x$ 趋向于无穷大时，分式的值会趋向于0。为了更清楚地看到这一点，我们可以将分子和分母同时除以 $x^3$： \[ \lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-5x}{7x^{3}+x-3} = \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^2}{x^3} - \frac{5x}{x^3}}{\frac{7x^3}{x^3} + \frac{x}{x^3} - \frac{3}{x^3}} = \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x} - \frac{5}{x^2}}{7 + \frac{1}{x^2} - \frac{3}{x^3}}. \] 3. 当 $x$ 趋向于无穷大时，$\frac{1}{x}$，$\frac{5}{x^2}$，$\frac{1}{x^2}$ 和 $\frac{3}{x^3}$ 都趋向于0。因此，极限变为： \[ \lim_{x\to\infty}\frac{0 - 0}{7 + 0 - 0} = \frac{0}{7} = 0. \] 所以，极限 $\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-5x}{7x^{3}+x-3}$ 的值是 $\boxed{0}$。

解析

考查要点：本题主要考查有理函数在无穷远处的极限，需要掌握分子和分母最高次项次数比较的方法。

解题核心思路：
当$x \to \infty$时，分式的极限由分子和分母的最高次项次数决定：

若分母的最高次数高于分子，则极限为$0$；
若分子和分母的最高次数相同，则极限为最高次项系数之比；
若分子的最高次数高于分母，则极限为$\infty$或$-\infty$。

破题关键：
本题中，分子最高次项为$x^2$（次数2），分母最高次项为$7x^3$（次数3）。由于分母次数更高，直接可得极限为$0$。

步骤1：确定分子和分母的最高次项

分子：$x^2 - 5x$，最高次项为$x^2$，次数为2；
分母：$7x^3 + x - 3$，最高次项为$7x^3$，次数为3。

步骤2：比较次数
分母次数（3）高于分子次数（2），因此当$x \to \infty$时，分母增长速度远快于分子，分式整体趋向于$0$。

步骤3（验证）：分子分母同除以$x^3$
将分子和分母同时除以$x^3$：
$\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^2}{x^3} - \frac{5x}{x^3}}{\frac{7x^3}{x^3} + \frac{x}{x^3} - \frac{3}{x^3}} = \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x} - \frac{5}{x^2}}{7 + \frac{1}{x^2} - \frac{3}{x^3}}.$
当$x \to \infty$时，分子中的$\frac{1}{x}$和$\frac{5}{x^2}$均趋向于$0$，分母趋向于$7$，因此极限为$\frac{0}{7} = 0$。