下列函数在复平面上处处解析的是A. f(z) = overline(z)B. f(z) = |z|C. f(z) = e^zD. f(z) = operatorname(Re)(z)

本题考查复变函数解析性的判断，解题思路是根据柯西 - 黎曼方程来判断函数是否解析。若函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在区域 $D$ 内满足柯西 - 黎曼方程 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ 且 $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$，并且 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 的一阶偏导数在 $D$ 内连续，则函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析。若在整个复平面上都解析，则称该函数在复平面上处处解析。

选项A

已知 $f(z)=\overline{z}=x - iy$，这里 $u(x,y)=x$，$v(x,y)=-y$。

• 计算偏导数：
  • $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial (x)}{\partial x}=1$；
  • $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial (x)}{\partial y}=0$；
  • $\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial (-y)}{\partial x}=0$；
  • $\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial (-y)}{\partial y}=-1$。
• 验证柯西 - 黎曼方程：
  • $\frac{\partial u}{\partial x}=1\neq - 1=\frac{\partial v}{\partial y}$，不满足柯西 - 黎曼方程，所以 $f(z)=\overline{z}$ 在复平面上处处不解析。

选项B

已知 $f(z)=\vert z\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，这里 $u(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，$v(x,y)=0$。

• 计算偏导数：
  • 当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时，$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$，$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$，$\frac{\partial v}{\partial x}=0$，$\frac{\partial v}{\partial y}=0$。
  • 当 $(x,y)=(0,0)$ 时，$\frac{\partial u}{\partial x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\sqrt{(\Delta x)^{2}+0}-0}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\vert\Delta x\vert}{\Delta x}$，此极限不存在，同理 $\frac{\partial u}{\partial y}$ 在 $(0,0)$ 处也不存在。
  • 即使在偏导数存在的点，$\frac{\partial u}{\partial x}\neq\frac{\partial v}{\partial y}$ 且 $\frac{\partial u}{\partial y}\neq-\frac{\partial v}{\partial x}$，不满足柯西 - 黎曼方程，所以 $f(z)=\vert z\vert$ 在复平面上处处不解析。

选项C

已知 $f(z)=e^{z}=e^{x + iy}=e^{x}(\cos y + i\sin y)$，这里 $u(x,y)=e^{x}\cos y$，$v(x,y)=e^{x}\sin y$。

• 计算偏导数：
  • $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial (e^{x}\cos y)}{\partial x}=e^{x}\cos y$；
  • $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial (e^{x}\cos y)}{\partial y}=-e^{x}\sin y$；
  • $\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial (e^{x}\sin y)}{\partial x}=e^{x}\sin y$；
  • $\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial (e^{x}\sin y)}{\partial y}=e^{x}\cos y$。
• 验证柯西 - 黎曼方程：
  • $\frac{\partial u}{\partial x}=e^{x}\cos y=\frac{\partial v}{\partial y}$，$\frac{\partial u}{\partial y}=-e^{x}\sin y=-\frac{\partial v}{\partial x}$，且 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 的一阶偏导数在整个复平面上都连续，所以 $f(z)=e^{z}$ 在复平面上处处解析。

选项D

已知 $f(z)=\operatorname{Re}(z)=x$，这里 $u(x,y)=x$，$v(x,y)=0$。

• 计算偏导数：
  • $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial (x)}{\partial x}=1$；
  • $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial (x)}{\partial y}=0$；
  • $\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial (0)}{\partial x}=0$；
  • $\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial (0)}{\partial y}=0$。
• 验证柯西 - 黎曼方程：
  • $\frac{\partial u}{\partial x}=1\neq 0=\frac{\partial v}{\partial y}$，不满足柯西 - 黎曼方程，所以 $f(z)=\operatorname{Re}(z)$ 在复平面上处处不解析。