题目
设随机变量X和Y是相互独立的随机变量且都服从正态分布，X～N（3，4），Y～N（2，9），则D（3X+4Y）=___．
设随机变量X和Y是相互独立的随机变量且都服从正态分布，X～N（3，4），Y～N（2，9），则D（3X+4Y）=___．
题目解答
答案
因为X和Y相互独立，所以Cov（X，Y）=0
D（3X+4Y）=9D（X）+16D（Y）=36+144=180
D（3X+4Y）=9D（X）+16D（Y）=36+144=180
解析
步骤 1：确定随机变量X和Y的分布参数
给定随机变量X和Y的分布参数，X～N（3，4）表示X的均值为3，方差为4；Y～N（2，9）表示Y的均值为2，方差为9。
步骤 2：计算D（3X+4Y）
由于X和Y是相互独立的随机变量，所以Cov（X，Y）=0。根据方差的性质，D（aX+bY）=a^2D（X）+b^2D（Y）+2abCov（X，Y），其中a和b是常数。将a=3，b=4代入，得到D（3X+4Y）=9D（X）+16D（Y）+2*3*4*Cov（X，Y）=9D（X）+16D（Y）。
步骤 3：代入X和Y的方差
将X的方差D（X）=4和Y的方差D（Y）=9代入，得到D（3X+4Y）=9*4+16*9=36+144=180。
给定随机变量X和Y的分布参数，X～N（3，4）表示X的均值为3，方差为4；Y～N（2，9）表示Y的均值为2，方差为9。
步骤 2：计算D（3X+4Y）
由于X和Y是相互独立的随机变量，所以Cov（X，Y）=0。根据方差的性质，D（aX+bY）=a^2D（X）+b^2D（Y）+2abCov（X，Y），其中a和b是常数。将a=3，b=4代入，得到D（3X+4Y）=9D（X）+16D（Y）+2*3*4*Cov（X，Y）=9D（X）+16D（Y）。
步骤 3：代入X和Y的方差
将X的方差D（X）=4和Y的方差D（Y）=9代入，得到D（3X+4Y）=9*4+16*9=36+144=180。