题目

设X_1, X_2, ..., X_n为来自总体X sim N(mu, sigma^2)的样本，其中mu，sigma^2为未知，下列各中是统计量的是().A. sum_(i=1)^n(X_i - mu)/(sigma)B. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - mu)^2C. (1)/(sigma^2) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2D. (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2

设$X_1, X_2, \cdots, X_n$为来自总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$的样本，其中$\mu$，$\sigma^2$为未知，下列各中是统计量的是().

A. $\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i - \mu}{\sigma}$

B. $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2$

C. $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$

D. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$

题目解答

答案

D. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$

解析

统计量的定义是解决本题的核心。统计量必须满足以下两个条件：

  1. 仅依赖于样本数据，不能包含任何未知总体参数（如$\mu$或$\sigma^2$）；
  2. 可计算性，即通过样本观测值可以实际计算出结果。

本题需逐一分析选项中是否含有未知参数，从而判断其是否为统计量。

选项A: $\sum_{i=1}^{n} \frac{X_i - \mu}{\sigma}$

  • 关键点：包含总体均值$\mu$和总体标准差$\sigma$。
  • 结论：由于$\mu$和$\sigma$是未知参数，无法通过样本计算，因此不是统计量。

选项B: $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2$

  • 关键点：包含总体均值$\mu$。
  • 结论：$\mu$未知，无法通过样本计算，因此不是统计量。

选项C: $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$

  • 关键点：包含总体方差$\sigma^2$。
  • 结论：$\sigma^2$未知，无法通过样本计算，因此不是统计量。

选项D: $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$

  • 关键点：仅涉及样本数据$X_i$和样本均值$\overline{X}$。
  • 结论：所有成分均可通过样本计算，且不含未知参数，因此是统计量。