某切割机在正常工作时，切割得每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm，标准差为0.15cm。今从一批产品中随机抽取16段进行测量，计算平均长度为10.48cm。假设方差不变，问在a=0.05显著性水平下，该切割机工作是否正常？ (已知: _(0.05)(16)=2.12, _(0.05)(15)=2.131 _(0.025)=1.960 )

考查要点：本题主要考查假设检验的应用，特别是总体均值的检验。需要根据题目条件选择合适的检验统计量（Z检验或t检验），并结合临界值法进行决策。

解题核心思路：

1. 确定假设形式：原假设为切割机工作正常（总体均值μ=10.5cm），备择假设为不正常（μ≠10.5cm）。
2. 判断检验类型：题目中总体标准差已知（0.15cm），且样本量较小（n=16），但总体方差已知时应优先使用Z检验（而非t检验）。
3. 计算检验统计量：利用公式 $Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$。
4. 比较临界值：双侧检验下，临界值为±1.96，若检验统计量绝对值小于临界值，则接受原假设。

破题关键：明确总体方差是否已知。题目中明确给出标准差，因此方差已知，应选择Z检验而非t检验。

建立假设

• 原假设 $H_0: \mu = 10.5$ cm（切割机工作正常）
• 备择假设 $H_1: \mu \neq 10.5$ cm（切割机工作异常）

选择检验统计量

由于总体标准差 $\sigma = 0.15$ cm 已知，且样本量 $n=16$，采用Z检验：
$Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

计算检验统计量

代入数据：
$Z = \frac{10.48 - 10.5}{0.15 / \sqrt{16}} = \frac{-0.02}{0.15 / 4} = \frac{-0.02}{0.0375} \approx -0.533$

确定临界值与决策

• 双侧检验，显著性水平 $\alpha = 0.05$，临界值为 $\pm 1.96$。
• 检验统计量绝对值 $|Z| = 0.533 < 1.96$，不拒绝原假设。