设随机变量 X sim N(mu, sigma^2)，则随着 sigma 的增大，概率 P|X - mu| leq sigma ().A. 单调增加B. 单调减少C. 保持不变D. 增减不定

本题考查正态分布的性质以及概率的计算。解题的关键思路是利用正态分布的标准化变换，将给定的概率表达式转化为标准正态分布的形式，然后判断其与参数 $\sigma$ 的关系。

详细解答

已知随机变量 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，要求概率 $P\{|X - \mu| \leq \sigma\}$。

1. 首先对绝对值不等式进行展开：
   • $|X - \mu| \leq \sigma$ 等价于 $-\sigma \leq X - \mu \leq \sigma$。
2. 然后进行标准化变换：
   • 令 $Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$，因为 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，所以 $Z \sim N(0, 1)$。
   • 对不等式 $-\sigma \leq X - \mu \leq \sigma$ 两边同时除以 $\sigma$（$\sigma\gt{}0$），得到 $-1\leq\frac{X - \mu}{\sigma}\leq1$，即 $-1\leq Z\leq1$。
   • 那么 $P\{|X - \mu| \leq \sigma\}=P\{-1\leq Z\leq1\}$。
3. 最后根据标准正态分布的性质：
   • 标准正态分布的概率密度函数是固定的，$P\{-1\leq Z\leq1\}=\varPhi(1)-\varPhi(-1)$，其中 $\varPhi(z)$ 是标准正态分布的分布函数。
   • 由于 $\varPhi(1)$ 和 $\varPhi(-1)$ 是固定的常数，与 $\sigma$ 无关，所以 $P\{|X - \mu| \leq \sigma\}$ 保持不变。