某厂生产一批金属材料，其抗弯强度服从正态分布。今从这批金属材料中抽取11个测试件，测得它们的抗弯强度为：42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7求：（1）平均抗弯强度μ的置信系数为0.95的置信区间；（2）抗弯强度标准差σ的置信系数为0.90的置信区间。

考查要点：本题主要考查小样本均值的置信区间和总体方差未知时标准差的置信区间的计算方法。

解题思路：

1. 均值μ的置信区间：由于总体方差σ²未知且样本量n=11（小样本），需使用t分布。核心步骤为计算样本均值$\overline{X}$、样本标准差$S$，并结合t临界值构造区间。
2. 标准差σ的置信区间：由于总体均值μ未知，需用样本方差$S^2$估计，采用卡方分布。需查找卡方分布的双侧分位数，代入公式计算区间。

关键点：

• t分布与卡方分布的适用条件；
• 样本均值、样本方差的计算；
• 分位数的正确查表与应用。

第（1）题：均值μ的置信区间

计算样本均值$\overline{X}$

$\overline{X} = \frac{1}{11} \sum_{i=1}^{11} X_i = \frac{477.9}{11} = 43.4$

计算样本标准差$S$

$S^2 = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{11} (X_i - \overline{X})^2 = 0.523, \quad S = \sqrt{0.523} \approx 0.723$

确定t临界值

置信系数0.95对应$\alpha = 0.05$，自由度$n-1=10$，查t表得：
$t_{\frac{\alpha}{2}}(10) = t_{0.025}(10) = 2.2281$

构造置信区间

$\overline{X} \pm \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) = 43.4 \pm \frac{0.723}{\sqrt{11}} \times 2.2281 \approx (42.91, 43.89)$

第（2）题：标准差σ的置信区间

确定卡方分位数

置信系数0.90对应$\alpha = 0.10$，自由度$n-1=10$，查卡方表得：
$\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(10) = \chi^2_{0.05}(10) = 18.307, \quad \chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(10) = \chi^2_{0.95}(10) = 3.940$

构造置信区间

$\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(10)}} \leq \sigma \leq \sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(10)}}$
代入数据：
$\sqrt{\frac{10 \times 0.523}{18.307}} \approx 0.53, \quad \sqrt{\frac{10 \times 0.523}{3.940}} \approx 1.15$
即置信区间为$(0.53, 1.15)$。