题目

某厂生产一批金属材料，其抗弯强度服从正态分布。今从这批金属材料中抽取11个测试件，测得它们的抗弯强度为：42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7求：（1）平均抗弯强度μ的置信系数为0.95的置信区间；（2）抗弯强度标准差σ的置信系数为0.90的置信区间。

某厂生产一批金属材料，其抗弯强度服从正态分布。今从这批金属材料中抽取11个测试件，测得它们的抗弯强度为：

42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7

求：（1）平均抗弯强度μ的置信系数为0.95的置信区间；

（2）抗弯强度标准差σ的置信系数为0.90的置信区间。

题目解答

答案

（1）因为 $\sigma^2$ 未知，故选用 $T=\frac{\bar{X} -\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(\text{ }n-1)$

为估计量，则 $\mu$ 的置信水平为1-α 的置信区间为 $(\overline{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1),\overline{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1))$

令n=11,1- $\alpha$ =0.95, $\frac{\alpha}{2}=0.025$ ， $经计算得\bar{x}=43.4,s^{2}=0.523, t_{0.025}(10)=2.2281$ ，

$因此可得\mu\text{ 的置信水平为 }0.95\text{ 的置信区间为}$

$\left(43.4-\sqrt{\frac{0.523}{11}}\times2.2281,43.4+\sqrt{\frac{0.523}{11}}\times2.2281\right)=\left(42.91,43.89\right).$

$(2)\text{因为}\mu\text{未知},\text{选估计量}\chi^2=\frac{n-1}{\sigma^2}S^2\sim\chi^2(n-1)\text{ ,则 }\sigma\text{ 的置信水平为1}-\alpha\text{的置}\text{信区间为}$ ，

$\left(\sqrt{\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2\left(n-1\right)}}},\sqrt{\frac{\left(n-1\right)S^2}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2\left(n-1\right)}}\right)$

令 $n=11,\frac{\alpha}{2}=0.05,s^{2}=0.523,\chi_{0.05}^{2}(10)=18.307,\chi_{0.95}^{2}(10)=3.940,$

$\text{故得 }\sigma\text{ 的置信水平为 }0.90\text{ 的置信区间为}(0.53,1.15).$

解析

步骤 1：计算样本均值和样本标准差
首先，我们需要计算样本均值 $\overline{X}$ 和样本标准差 $S$。样本均值 $\overline{X}$ 是所有样本值的平均值，样本标准差 $S$ 是样本值与样本均值之差的平方和的平均值的平方根。
步骤 2：计算平均抗弯强度μ的置信区间
由于总体标准差未知，我们使用 t 分布来计算平均抗弯强度μ的置信区间。置信区间为 $\overline{X} \pm t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$，其中 $t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$ 是 t 分布的临界值，$\alpha$ 是显著性水平，$n$ 是样本量。
步骤 3：计算抗弯强度标准差σ的置信区间
由于总体均值未知，我们使用卡方分布来计算抗弯强度标准差σ的置信区间。置信区间为 $\left(\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)}}, \sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)}}\right)$，其中 $\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)$ 和 $\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$ 是卡方分布的临界值，$\alpha$ 是显著性水平，$n$ 是样本量。