题目
3.设某种电子管的使用寿命服从正态分布.从中随机抽取15个进行检验,-|||-得平均使用寿命为1950小时,标准差s为300小时.以95%的可靠性估计整批-|||-电子管平均使用寿命的置信上、下限.
题目解答
答案
解析
本题考查正态总体均值在方差未知时的置信区间的计算。解题思路如下：
- 首先明确已知条件，本题中电子管的使用寿命$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，其中总体均值$\mu$未知，总体方差$\sigma^{2}$也未知，样本容量$n = 15$，样本均值$\overline{x}=1950$小时，样本标准差$s = 300$小时，要求的置信水平为$95\%$，即$1 - \alpha=0.95$，那么$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
- 当总体方差$\sigma^{2}$未知时，总体均值$\mu$的置信水平为$1 - \alpha$的置信区间为$(\overline{X}\pm\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n - 1))$，这里$t_{\alpha/2}(n - 1)$是自由度为$n - 1$的$t$分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点。
- 计算$\frac{\alpha}{2}$的值：$\frac{\alpha}{2}=\frac{0.05}{2}=0.025$，自由度$n - 1=15 - 1 = 14$，查$t$分布表可得$t_{0.025}(14)=2.145$。
- 计算置信区间的上下限：
- 下限为$\overline{x}-\frac{s}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n - 1)$，将$\overline{x}=1950$，$s = 300$，$n = 15$，$t_{0.025}(14)=2.145$代入可得：
$\begin{align*}\overline{x}-\frac{s}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n - 1)&=1950-\frac{300}{\sqrt{15}}\times2.145\\&=1950-\frac{300\times2.145}{\sqrt{15}}\\&\approx1950 - 166.15\\&=1783.85\end{align*}$ - 上限为$\overline{x}+\frac{s}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n - 1)$，将$\overline{x}=1950$，$s = 300$，$n = 15$，$t_{0.025}(14)=2.145$代入可得：
$\begin{align*}\overline{x}+\frac{s}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n - 1)&=1950+\frac{300}{\sqrt{15}}\times2.145\\&=1950+\frac{300\times2.145}{\sqrt{15}}\\&\approx1950 + 166.15\\&=2116.15\end{align*}$
- 下限为$\overline{x}-\frac{s}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n - 1)$，将$\overline{x}=1950$，$s = 300$，$n = 15$，$t_{0.025}(14)=2.145$代入可得：