题目
判断下列命题是否正确并说明理由 ( 1 ) 设 矩阵 AB 同型等秩则 矩阵 A 经过一系列初等变换可化为 矩阵 B ; ( 2 ) 列 初等变换不改变矩阵的秩 ; ( 3 ) 任何一个矩阵都可以通过行初等变换化为标准形 ; ( 4 ) 任何一个可逆矩阵只通过行初等变换就可以化为标准形 ; ( 5 ) 对 于 矩阵 A B 若存在满秩 矩阵 P Q 使得 ; B = PAQ 则 r ( A ) = r ( B )
判断下列命题是否正确并说明理由 ( 1 ) 设 矩阵 AB 同型等秩则 矩阵 A 经过一系列初等变换可化为 矩阵 B ; ( 2 ) 列 初等变换不改变矩阵的秩 ; ( 3 ) 任何一个矩阵都可以通过行初等变换化为标准形 ; ( 4 ) 任何一个可逆矩阵只通过行初等变换就可以化为标准形 ; ( 5 ) 对 于 矩阵 A B 若存在满秩 矩阵 P Q 使得 ; B = PAQ 则 r ( A ) = r ( B )
题目解答
答案
(1)根据定理:若矩阵 A,B 同型等秩,则经过一系列的初等变换,可将 A,B 化为相同的标准形 D .此时,对标准形 D 进一步实施一系列与刚才将 B 化为标准形时的系列初等变 换相对应的系列逆变换,则可将标准形化为矩阵 B .即 这说明,矩阵A经过一系列初等变换化为矩阵 B . 故正确. (2)根据题意,矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念,任何矩阵经过矩阵初等变换后其秩不变. 故正确. (3)任何一个矩阵通过初等行变换都能化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵,但化不成标准形矩阵. 故错误. (4)根据题意可知,因为可逆矩阵可以表示成初等矩阵的乘积由 A=P1 \dotsc Ps ,得 Ps^{-1} \cdots P_{1}^{-1}A=E (可逆矩阵的标准型是单位矩阵)这意味着 对 A 只用初等行变换即化为 E ,同理有 APs^{-1}...P_{1}^{-1}=E 这意味着 对 A 只用初等列变换即化为 E . 故正确. (5)根据题意可知,因为 B=PAQ ,且 P,Q 满秩,而满秩矩阵等于有限个初等矩阵的乘积.不妨令 P=P_{1}P_{2} \dotsc P,Q=Q_{1}Q_{2} \dotsc Q, 其中 P,Q(i=1,2, \cdots ,s;j=1,2, \dotsc ,t) 为初等矩阵，则 B=PAQ=P_{1}P_{2} \cdots P,AQ:Q2 \dotsc Q. 该式表明, A 经过一系列的初等变换化为 B .而初等变换不改变矩阵的秩,故r (A)=r(B) . 故正确.
解析
步骤 1：矩阵 A 和 B 同型等秩
根据定理，若矩阵 A 和 B 同型等秩，则经过一系列的初等变换，可将 A 和 B 化为相同的标准形 D。此时，对标准形 D 进一步实施一系列与刚才将 B 化为标准形时的系列初等变换相对应的系列逆变换，则可将标准形化为矩阵 B。即 A 经过一系列初等变换化为矩阵 B。
步骤 2：列初等变换不改变矩阵的秩
根据题意，矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念，任何矩阵经过矩阵初等变换后其秩不变。
步骤 3：任何一个矩阵都可以通过行初等变换化为标准形
根据题意，任何一个矩阵通过初等行变换都能化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，但化不成标准形矩阵。
步骤 4：任何一个可逆矩阵只通过行初等变换就可以化为标准形
根据题意可知，因为可逆矩阵可以表示成初等矩阵的乘积由 A=P1 \dotsc Ps ，得 Ps^{-1} \cdots P_{1}^{-1}A=E (可逆矩阵的标准型是单位矩阵)这意味着 对 A 只用初等行变换即化为 E ，同理有 APs^{-1}...P_{1}^{-1}=E 这意味着 对 A 只用初等列变换即化为 E 。
步骤 5：对于矩阵 A 和 B 若存在满秩矩阵 P 和 Q 使得 B = PAQ 则 r ( A ) = r ( B )
根据题意可知，因为 B=PAQ ，且 P,Q 满秩，而满秩矩阵等于有限个初等矩阵的乘积。不妨令 P=P_{1}P_{2} \cdots P,Q=Q_{1}Q_{2} \dotsc Q, 其中 P,Q(i=1,2, \cdots ,s;j=1,2, \dotsc ,t) 为初等矩阵，则 B=PAQ=P_{1}P_{2} \cdots P,AQ:Q2 \dotsc Q. 该式表明, A 经过一系列的初等变换化为 B .而初等变换不改变矩阵的秩,故r (A)=r(B) 。
根据定理，若矩阵 A 和 B 同型等秩，则经过一系列的初等变换，可将 A 和 B 化为相同的标准形 D。此时，对标准形 D 进一步实施一系列与刚才将 B 化为标准形时的系列初等变换相对应的系列逆变换，则可将标准形化为矩阵 B。即 A 经过一系列初等变换化为矩阵 B。
步骤 2：列初等变换不改变矩阵的秩
根据题意，矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念，任何矩阵经过矩阵初等变换后其秩不变。
步骤 3：任何一个矩阵都可以通过行初等变换化为标准形
根据题意，任何一个矩阵通过初等行变换都能化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，但化不成标准形矩阵。
步骤 4：任何一个可逆矩阵只通过行初等变换就可以化为标准形
根据题意可知，因为可逆矩阵可以表示成初等矩阵的乘积由 A=P1 \dotsc Ps ，得 Ps^{-1} \cdots P_{1}^{-1}A=E (可逆矩阵的标准型是单位矩阵)这意味着 对 A 只用初等行变换即化为 E ，同理有 APs^{-1}...P_{1}^{-1}=E 这意味着 对 A 只用初等列变换即化为 E 。
步骤 5：对于矩阵 A 和 B 若存在满秩矩阵 P 和 Q 使得 B = PAQ 则 r ( A ) = r ( B )
根据题意可知，因为 B=PAQ ，且 P,Q 满秩，而满秩矩阵等于有限个初等矩阵的乘积。不妨令 P=P_{1}P_{2} \cdots P,Q=Q_{1}Q_{2} \dotsc Q, 其中 P,Q(i=1,2, \cdots ,s;j=1,2, \dotsc ,t) 为初等矩阵，则 B=PAQ=P_{1}P_{2} \cdots P,AQ:Q2 \dotsc Q. 该式表明, A 经过一系列的初等变换化为 B .而初等变换不改变矩阵的秩,故r (A)=r(B) 。