题目
7. (10.0分) 设xisim N(0,1)，则方程x^2-xi x+1=0有实根的概率为( ).A Phi(2)B Phi(2)+Phi(-2)C 2-2Phi(2)D 2Phi(2)-1
7. (10.0分) 设$\xi\sim N(0,1)$，则方程$x^{2}-\xi x+1=0$有实根的概率为( ).
A $\Phi(2)$
B $\Phi(2)+\Phi(-2)$
C 2-2$\Phi(2)$
D 2$\Phi(2)-1$
题目解答
答案
设 $\xi \sim N(0,1)$，方程 $x^2 - \xi x + 1 = 0$ 有实根的条件是判别式 $\Delta = \xi^2 - 4 \geq 0$，即 $\xi^2 \geq 4$。解得 $\xi \geq 2$ 或 $\xi \leq -2$。
由于 $\xi$ 服从标准正态分布，其概率密度函数为 $f(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\xi^2}{2}}$，累积分布函数为 $\Phi(x)$。
因此，所求概率为：
\[
P(\xi \geq 2 \text{ 或 } \xi \leq -2) = P(\xi \geq 2) + P(\xi \leq -2)
\]
由标准正态分布的对称性，$P(\xi \leq -2) = P(\xi \geq 2) = 1 - \Phi(2)$。
故总概率为：
\[
P = (1 - \Phi(2)) + (1 - \Phi(2)) = 2 - 2\Phi(2)
\]
因此，正确答案是 C. $2 - 2\Phi(2)$。
答案：C. $2 - 2\Phi(2)$
解析
考查要点：本题主要考查二次方程有实根的条件与标准正态分布的概率计算。
解题核心思路：
- 根据二次方程判别式确定参数ξ的取值范围；
- 利用标准正态分布的对称性和累积分布函数Φ(x)计算概率。
破题关键点：
- 判别式Δ ≥ 0转化为ξ的不等式；
- 标准正态分布的对称性简化概率计算。
方程$x^2 - \xi x + 1 = 0$有实根的条件是判别式$\Delta \geq 0$，即：
$\Delta = \xi^2 - 4 \geq 0 \implies \xi^2 \geq 4.$
解得$\xi \geq 2$或$\xi \leq -2$。
由于$\xi \sim N(0,1)$，其概率密度函数为$f(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\xi^2}{2}}$，累积分布函数为$\Phi(x) = P(\xi \leq x)$。
概率计算：
- $\xi \geq 2$的概率：
$P(\xi \geq 2) = 1 - \Phi(2).$ - $\xi \leq -2$的概率：
由标准正态分布的对称性，$P(\xi \leq -2) = P(\xi \geq 2) = 1 - \Phi(2)$.
总概率：
$P(\xi \geq 2 \text{ 或 } \xi \leq -2) = (1 - \Phi(2)) + (1 - \Phi(2)) = 2 - 2\Phi(2).$