典例展示] 天空有近似等高的浓云层.为了测量云层的-|||-高度,在水平地面上与观测者的距离为 d=3.0km 处进-|||-行一次爆炸,观测者听到由空气直接传来的爆炸声和由-|||-云层反射来的爆炸声时间上相差 Delta t=6.0s. 试估算云层-|||-下表面的高度.已知空气中的声速 =dfrac (1)(3)km/s.

考查要点：本题主要考查声波反射路径的时间差问题，涉及几何路径分析和方程求解。

解题核心思路：

1. 确定两种传播路径：直接传播（水平距离$d$）和反射传播（垂直上升到云层后斜向传播）。
2. 建立时间差方程：反射路径总路程为$2\sqrt{h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2}$，直接路径路程为$d$，利用时间差$\Delta t$列方程。
3. 代数求解：通过平方消去根号，解出云层高度$h$。

破题关键点：

• 反射路径的几何关系：声波反射后形成对称路径，总路程为$2\sqrt{h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2}$。
• 正确建立方程：时间差由反射路径与直接路径的时间差决定。

步骤1：确定两种传播路径的时间

1. 直接传播时间：
   声波沿水平距离$d$传播，时间为
   $t_1 = \frac{d}{v}.$
2. 反射传播时间：
   声波垂直上升$h$，再斜向传播到观测者，总路程为$2\sqrt{h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2}$，时间为
   $t_2 = \frac{2\sqrt{h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2}}{v}.$

步骤2：建立时间差方程

时间差$\Delta t = t_2 - t_1$，代入已知条件$\Delta t = 6.0\,\text{s}$，$d = 3.0\,\text{km}$，$v = \frac{1}{3}\,\text{km/s}$：
$\frac{2\sqrt{h^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} - 3}{\frac{1}{3}} = 6.$

步骤3：化简方程

1. 两边乘以$\frac{1}{3}$：
   $2\sqrt{h^2 + 2.25} - 3 = 2.$
2. 移项得：
   $2\sqrt{h^2 + 2.25} = 5 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{h^2 + 2.25} = 2.5.$
3. 平方两边：
   $h^2 + 2.25 = 6.25 \quad \Rightarrow \quad h^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad h = 2\,\text{km}.$