1.设随机变量X的分布函数为F(x),引入函数 _(1)(x)=F(ax), _(2)(x)=(F)^2(x),-|||-_(3)(x)=1-F(-x) _(4)(x)=F(x+a), 其中a为常数,则F1 (x),F2(x),F3 (x),F4(x)这4个函数-|||-中哪些是分布函数?

分布函数的判断依据：

1. 非递减性：对任意$x_1 < x_2$，有$F(x_1) \leq F(x_2)$；
2. 右连续性：$\lim_{x \to x_0^+} F(x) = F(x_0)$；
3. 极限条件：$\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$，$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$。

关键思路：

• F1(x)：通过$a$的符号分析单调性；
• F2(x)：利用平方运算的单调性和极限性质；
• F3(x)：验证右连续性是否被破坏；
• F4(x)：平移操作对分布函数性质的影响。

F1(x) = F(ax)

• 非递减性：若$a < 0$，当$x$增大时，$ax$减小，导致$F(ax)$可能递减，不满足非递减性。
• 结论：不一定是分布函数。

F2(x) = [F(x)]²

• 非递减性：$F(x)$非递减且取值在$[0,1]$，平方后仍非递减（导数$2F(x)F'(x) \geq 0$）。
• 右连续性：平方运算保持右连续性。
• 极限条件：$\lim_{x \to +\infty} [F(x)]^2 = 1$，$\lim_{x \to -\infty} [F(x)]^2 = 0$。
• 结论：是分布函数。

F3(x) = 1 - F(-x)

• 非递减性：$x$增大时，$-x$减小，$F(-x)$非递增，故$1 - F(-x)$非递减。
• 右连续性：$F(-x)$对$x$的右连续性等价于$F(y)$对$y$的左连续性，但分布函数需右连续，因此不满足。
• 结论：不是分布函数。

F4(x) = F(x + a)

• 非递减性：平移后保持原函数的单调性。
• 右连续性：平移不改变右连续性。
• 极限条件：$\lim_{x \to +\infty} F(x+a) = 1$，$\lim_{x \to -\infty} F(x+a) = 0$。
• 结论：是分布函数。