矩阵 A=} 2 & 4 1 & 2

本题考查矩阵的初等行变换以及行最简形矩阵的概念。解题思路是通过对给定矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形矩阵。行最简形矩阵需满足以下条件：

1. 非零行的第一个非零元素为 1。
2. 非零行的第一个非零元素所在列的其他元素都为 0。
3. 零行位于矩阵的下方。

下面对矩阵$A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$进行初等行变换：

• 第一步：将第一行乘以$\frac{1}{2}$，使第一行第一个元素变为 1
  根据矩阵初等行变换规则$r_i\times k$（表示第$i$行乘以常数$k$），对矩阵$A$的第一行进行操作，即$r_1\times\frac{1}{2}$，可得：
  $\begin{pmatrix} 2\times\frac{1}{2} & 4\times\frac{1}{2} \\ 1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
• 第二步：将第一行乘以$-1$加到第二行，使第二行第一个元素变为 0
  根据矩阵初等行变换规则$r_i + k\times r_j$（表示第$i$行加上第$j$行的$k$倍），对矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$的第二行进行操作，即$r_2+(-1)\times r_1$，可得：
  $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1+(-1)\times1 & 2+(-1)\times2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

此时得到的矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$满足行最简形矩阵的条件。