4.判断题(1分)单位矩阵的行列式的值为1. ( )A. 对B. 错

本题考查单位矩阵和行列式的基本概念及计算。解题思路是先明确单位矩阵的定义，再根据行列式的计算方法求出单位矩阵的行列式的值，最后判断该值是否为 1。

• 步骤一：明确单位矩阵的定义
  单位矩阵是一个方阵，其主对角线上的元素都为 1，其余元素都为 0。对于 $n$ 阶单位矩阵 $E_n$，其形式为：
  \(E_n=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}\)
• 步骤二：计算单位矩阵的行列式
  根据行列式的定义，对于 $n$ 阶行列式 $A=(a_{ij})$，其值为 $\vert A\vert=\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{\tau(\sigma)}\prod_{i = 1}^{n}a_{i,\sigma(i)}$，其中 $S_n$ 是 $n$ 个元素的所有排列构成的集合，$\tau(\sigma)$ 是排列 $\sigma$ 的逆序数。
  对于 $n$ 阶单位矩阵 $E_n$，只有当排列 $\sigma$ 是恒等排列（即 $\sigma(i)=i$，$i = 1,2,\cdots,n$）时，$\prod_{i = 1}^{n}a_{i,\sigma(i)} = 1\times1\times\cdots\times1 = 1$，其余排列对应的乘积都为 0。而恒等排列的逆序数 $\tau(\sigma)=0$，所以 $(-1)^{\tau(\sigma)} = (-1)^0 = 1$。
  因此，$n$ 阶单位矩阵 $E_n$ 的行列式 $\vert E_n\vert = 1$。
• 步骤三：判断命题的正确性
  由上述计算可知，单位矩阵的行列式的值为 1，所以该命题是正确的。