题目
设正态总体 X 的均值为 mu，方差为 sigma^2，下列说法错误的是()A. 样本均值 overline(x) 是 mu 的无偏估计量B. 二阶样本中心矩 B_2 = (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - overline(x))^2 是 sigma^2 的无偏估计量C. 样本方差 S^2 = (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(x))^2 是 sigma^2 的无偏估计量D. S^2, B_2 都是一致估计量
设正态总体 $X$ 的均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$，下列说法错误的是()
A. 样本均值 $\overline{x}$ 是 $\mu$ 的无偏估计量
B. 二阶样本中心矩 $B_2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{x})^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量
C. 样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{x})^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量
D. $S^2, B_2$ 都是一致估计量
题目解答
答案
B. 二阶样本中心矩 $B_2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{x})^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量
解析
步骤 1：样本均值 $\overline{X}$ 的无偏性
样本均值 $\overline{X}$ 的期望等于总体均值 $\mu$，即 $E(\overline{X}) = \mu$，因此样本均值 $\overline{X}$ 是 $\mu$ 的无偏估计量，选项A正确。
步骤 2：二阶样本中心矩 $B_2$ 的无偏性
二阶样本中心矩 $B_2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$ 的期望为 $E(B_2) = \frac{n-1}{n} \sigma^2 \neq \sigma^2$，因此二阶样本中心矩 $B_2$ 不是 $\sigma^2$ 的无偏估计量，选项B错误。
步骤 3：样本方差 $S^2$ 的无偏性
样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$ 的期望为 $E(S^2) = \sigma^2$，因此样本方差 $S^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量，选项C正确。
步骤 4：$S^2$ 和 $B_2$ 的一致性
当样本量 $n \to \infty$ 时，$S^2$ 和 $B_2$ 均依概率收敛于 $\sigma^2$，因此 $S^2$ 和 $B_2$ 都是一致估计量，选项D正确。
样本均值 $\overline{X}$ 的期望等于总体均值 $\mu$，即 $E(\overline{X}) = \mu$，因此样本均值 $\overline{X}$ 是 $\mu$ 的无偏估计量，选项A正确。
步骤 2：二阶样本中心矩 $B_2$ 的无偏性
二阶样本中心矩 $B_2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$ 的期望为 $E(B_2) = \frac{n-1}{n} \sigma^2 \neq \sigma^2$，因此二阶样本中心矩 $B_2$ 不是 $\sigma^2$ 的无偏估计量，选项B错误。
步骤 3：样本方差 $S^2$ 的无偏性
样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$ 的期望为 $E(S^2) = \sigma^2$，因此样本方差 $S^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量，选项C正确。
步骤 4：$S^2$ 和 $B_2$ 的一致性
当样本量 $n \to \infty$ 时，$S^2$ 和 $B_2$ 均依概率收敛于 $\sigma^2$，因此 $S^2$ 和 $B_2$ 都是一致估计量，选项D正确。