在样本量为46时，总体的标准差σ未知，则在样本均值的区间估计时，置信区间为:A. overline(x) pm t_(alpha/2) (s)/(sqrt(n))B. overline(x) pm z_(alpha/2) (sigma)/(sqrt(n))C. overline(x) pm z_(alpha/2) (s)/(sqrt(n))

本题考查在总体标准差 $\sigma$ 未知的情况下，样本均值区间估计的置信区间公式。解题的关键在于明确总体标准差是否已知以及样本量大小对置信区间公式选择的影响。

详细分析

• 总体标准差 $\sigma$ 已知的情况：
  • 当总体标准差 $\sigma$ 已知时，无论样本量 $n$ 的大小，样本均值 $\overline{x}$ 的抽样分布近似服从正态分布。
  • 此时，样本均值的置信区间公式为 $\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中 $\overline{x}$ 是样本均值，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\frac{\alpha}{2}$ 分位数，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本量。
• 总体标准差 $\sigma$ 未知的情况：
  • 当总体标准差 $\sigma$ 未知时，需要用样本标准差 $s$ 来代替总体标准差 $\sigma$。
  • 此时，样本均值 $\overline{x}$ 的抽样分布近似服从 $t$ 分布，自由度为 $n - 1$。
  • 样本均值的置信区间公式为 $\overline{x} \pm t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$，其中 $t_{\alpha/2}$ 是自由度为 $n - 1$ 的 $t$ 分布的上 $\frac{\alpha}{2}$ 分位数，$s$ 是样本标准差。

在本题中，已知总体的标准差 $\sigma$ 未知，样本量 $n = 46$，所以应该使用 $t$ 分布来构造样本均值的置信区间，即置信区间为 $\overline{x} \pm t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$。