单选题 1分1、设总体 X sim N(mu, sigma^2)，其中 mu, sigma^2 为未知参数，X_1, dots, X_n 是来自 X 的一个样本，则可作为 sigma^2 的无偏估计的是____；A. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n(X_i - mu)^2B. (1)/(n) sum_(i=1)^n(X_i - mu)^2C. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n(X_i - overline(X))^2D. (1)/(n) sum_(i=1)^n(X_i - overline(X))^2

本题考查无偏估计的概念以及样本方差的性质。解题的关键在于明确无偏估计的定义，即估计量的数学期望等于被估计的参数，然后分别计算各选项的数学期望，看哪个等于总体方差$\sigma^2$。

选项A

已知总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$X_1, \dots, X_n$是来自$X$的一个样本。
对于$\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2$，先求$E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2\right]$：
因为$X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，根据方差的定义$D(X_i)=E[(X_i - E(X_i))^2]$，这里$E(X_i)=\mu$，所以$E[(X_i - \mu)^2]=D(X_i)=\sigma^2$。
则$E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2\right]=\sum_{i = 1}^{n}E[(X_i - \mu)^2]=\sum_{i = 1}^{n}\sigma^2=n\sigma^2$。
那么$E\left[\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2\right]=\frac{1}{n - 1}E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2\right]=\frac{n}{n - 1}\sigma^2\neq\sigma^2$，所以选项A不是$\sigma^2$的无偏估计。

选项B

对于$\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2$，由前面计算可知$E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2\right]=n\sigma^2$。
所以$E\left[\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2\right]=\frac{1}{n}E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2\right]=\frac{n}{n}\sigma^2=\sigma^2$，但这里需要注意，该选项中使用的是总体均值$\mu$，而题目中$\mu$是未知参数，在实际应用中无法使用，所以选项B不符合要求。

选项C

对于$\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$，我们知道样本方差$S^2=\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$，根据样本方差的性质，有$E(S^2)=\sigma^2$，即$E\left[\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\right]=\sigma^2$，所以选项C是$\sigma^2$的无偏估计。

选项D

对于$\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$，因为$E\left[\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\right]=\sigma^2$，所以$E\left[\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\right]=\frac{n - 1}{n}\sigma^2\neq\sigma^2$，所以选项D不是$\sigma^2$的无偏估计。