8.某厂宣称已采取措施进行废水治理，现环保部门抽测了9个水样，测得每kg水样中有毒物质含量的样本均值17(单位：mg)，样本标准差为2.4。假设该有毒物质的含量服从正态分布，以往该厂废水中有毒物质的平均含量为18.2。在显著性水平0.05下，问废水中有毒物质的含量有无显著变化?

本题考查的是正态总体均值的 t 检验。解题思路如下：

1. 首先根据题目要求建立原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$。原假设 $H_0$ 通常表示没有显著变化，即废水中有毒物质的平均含量仍为以往的 $18.2$；备择假设 $H_1$ 表示有显著变化，即平均含量不等于 $18.2$。
2. 由于总体方差未知，样本来自正态分布，所以使用 t 检验。计算 t 统计量，其计算公式为 $t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s / \sqrt{n}}$，其中 $\overline{x}$ 是样本均值，$\mu_0$ 是原假设中的总体均值，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量。
3. 确定自由度 $df=n - 1$，根据显著性水平 $\alpha$ 确定双侧检验的临界值 $t_{\frac{\alpha}{2},n - 1}$。
4. 比较计算得到的 t 统计量的绝对值 $|t|$ 与临界值 $t_{\frac{\alpha}{2},n - 1}$ 的大小。若 $|t|\lt t_{\frac{\alpha}{2},n - 1}$，则落在接受域，不拒绝原假设 $H_0$；若 $|t|\geq t_{\frac{\alpha}{2},n - 1}$，则落在拒绝域，拒绝原假设 $H_0$。
5. 根据比较结果得出结论。

下面进行详细计算：

1. 建立假设：
   • 原假设 $H_0:\mu = 18.2$（无显著变化），备择假设 $H_1:\mu\neq 18.2$（有显著变化）。
2. 计算 t 统计量：
   • 已知样本均值 $\overline{x}=17$，原假设中的总体均值 $\mu_0 = 18.2$，样本标准差 $s = 2.4$，样本容量 $n = 9$。
   • 将这些值代入 t 统计量公式 $t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s / \sqrt{n}}$，可得：
     • $t=\frac{17 - 18.2}{2.4 / \sqrt{9}}=\frac{-1.2}{2.4 / 3}=\frac{-1.2}{0.8}=-1.5$。
3. 确定临界值：
   • 显著性水平 $\alpha = 0.05$，自由度 $df=n - 1=9 - 1 = 8$。
   • 对于双侧检验，$\frac{\alpha}{2}=0.025$，查 t 分布表得 $t_{0.025,8}=2.306$。
4. 比较 t 值与临界值：
   • 计算 $|t|=\vert - 1.5\vert = 1.5$。
   • 因为 $1.5\lt 2.306$，即 $|t|\lt t_{0.025,8}$，所以 t 值落在接受域。
5. 结论：
   • 由于 t 值落在接受域，所以不拒绝原假设 $H_0$，认为废水中有毒物质的含量无显著变化。