题目

18.（简答题，10.0分）设f(x)=x^2+2x-3，其中A=}1&0&-12&1&-10&2&1，则求f(A).

18.（简答题，10.0分） 设$f(x)=x^{2}+2x-3$，其中$A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&1&-1\\0&2&1\end{pmatrix}$，则求f(A).

题目解答

答案

设 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} $，则 $ f(A) = A^2 + 2A - 3I $。

  1. 计算 $ A^2 $：
    $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 4 & -1 & -4 \\ 4 & 4 & -1 \end{pmatrix}$
  2. 计算 $ 2A $：
    $2A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 4 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}$
  3. 计算 $ 3I $：
    $3I = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$
  4. 计算 $ f(A) $：
    $f(A) = A^2 + 2A - 3I = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -4 \\ 8 & -2 & -6 \\ 4 & 8 & -2 \end{pmatrix}$

答案：
$\boxed{ \begin{pmatrix} 0 & -2 & -4 \\ 8 & -2 & -6 \\ 4 & 8 & -2 \end{pmatrix} }$

解析

考查要点：本题主要考查矩阵多项式的计算，涉及矩阵的乘法、数乘以及加减法运算。

解题核心思路：将函数$f(x)=x^2+2x-3$中的变量$x$替换为矩阵$A$，按照矩阵运算规则逐项计算，最后合并结果。关键在于正确计算矩阵的平方$A^2$，并注意单位矩阵$3I$的构造。

破题关键点：

  1. 矩阵乘法：准确计算$A^2$，需逐元素按行乘列展开。
  2. 数乘与加减法：分别计算$2A$和$3I$，再将各对应元素相加减。

步骤1：计算$A^2$

矩阵乘法$A^2 = A \cdot A$，逐元素计算：

  • 第一行：
    • $(1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 0, 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 2, 1 \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1) = (1, -2, -2)$
  • 第二行：
    • $(2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 0, 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2, 2 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1) = (4, -1, -4)$
  • 第三行：
    • $(0 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 0, 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2, 0 \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 1) = (4, 4, -1)$

步骤2：计算$2A$

将矩阵$A$每个元素乘以2：
$2A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 4 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

步骤3：构造$3I$

单位矩阵$3I$为：
$3I = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

步骤4：合并计算$f(A)$

将$A^2 + 2A - 3I$对应元素相加：
$f(A) = \begin{pmatrix} 1+2-3 & -2+0-0 & -2-2-0 \\ 4+4-0 & -1+2-3 & -4-2-0 \\ 4+0-0 & 4+4-0 & -1+2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -4 \\ 8 & -2 & -6 \\ 4 & 8 & -2 \end{pmatrix}$