题目

设总体sim N((0,4)^2)，sim N((0,4)^2)是来自总体sim N((0,4)^2)的一个样本。则sim N((0,4)^2)sim N((0,4)^2) sim N((0,4)^2)sim N((0,4)^2) sim N((0,4)^2)sim N((0,4)^2) sim N((0,4)^2)sim N((0,4)^2) sim N((0,4)^2)

设总体 $X \sim N(0,4^2)$ ， $X_1,X_2,\dots X_{20}$ 是来自总体 $X$ 的一个样本。则 $P\left\{\sum_{i=1}^{20}X_i^2\le546.72\right\}=\left(\right)$

$A$ $0.025$

$B$ $0.01$

$C$ $0.05$

$D$ $0.975$

题目解答

答案

解：因为总体 $X \sim N(0,4^2)$ ， $X_1,X_2,\dots X_{20}$ 是来自总体 $X$ 的一个样本，则 $X_1,X_2,\dots X_{20}$ 为均值为 $0$ ，方差为 $16$ 的正态分布，由正态分布的性质知，对 $X_1,X_2,\dots X_{20}$ 进行标准化，得

$\frac{X_1}{4}\sim N\left(0,1\right),\frac{X_2}{4}\sim N\left(0,1\right),\dots,\frac{X_{20}}{4}\sim N\left(0,1\right)$ ,则由 $\chi^{2}$ 分布的定义知， $\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{20}X_i^2\sim\chi^{2}(20)$ ，则 $P\left\{\sum_{i=1}^{20}X_i^2\le546.72\right\}=P\left\{\frac{\sum_{i=1}^{20}X_i^2}{16}\le\frac{546.72}{16}\right\}$

$=P\left\{\chi^{2}(20)\le34.17\right\}$ ，通过查表得， $P\left(\chi^2(20)\le34.17\right)=0.975$ ，所以答案为： $D$