A是m times n阶矩阵，则A^k是m times n阶矩阵.A. 对B. 错

本题考查矩阵乘法的基本性质，解题的关键在于明确矩阵相乘时对矩阵阶数的要求。

矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数。设矩阵$A$是$m\times n$阶矩阵，即$A$有$m$行$n$列。

当计算$A^2 = A\times A$时，第一个$A$是$m\times n$阶矩阵，第二个$A$同样是$m\times n$阶矩阵。由于矩阵乘法要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，而这里第一个$A$的列数是$n$，第二个$A$的行数是$m$，只有当$m = n$时，$A^2$才有意义，此时$A^2$是$m\times m$阶矩阵；当$m\neq n$时，$A^2$无意义。

对于$A^k$（$k\geq2$），若要使$A^k$有意义，必须满足矩阵相乘的条件，即只有当$m = n$时，$A^k$才是有意义的$m\times m$阶矩阵；当$m\neq n$时，$A^k$无意义，更不能说$A^k$是$m\times n$阶矩阵。所以“$A$是$m\times n$阶矩阵，则$A^k$是$m\times n$阶矩阵”这一说法是错误的。