四、应用题（10分）已知某种材料的抗压强度X~N(μ,σ²)，参数μ和σ²均未知，现随机地抽取9个样品进行抗压试验，测得数据如下：482 493 457 471 510 446 435 418 401（1）求样本均值overline(x)和样本方差s²；（2）求平均抗压强度μ的置信水平为95%的置信区间.可能用到的分位点：z_(0.05)=1.645，z_(0.025)=1.96，t_(0.05)(9)=1.8331，t_(0.025)(9)=2.2622，t_(0.05)(8)=1.8595，t_(0.025)(8)=2.3060.

为了解决这个问题，我们将按照以下步骤进行： 1. 计算样本均值$\overline{x}$。 2. 计算样本方差$s^2$。 3. 确定平均抗压强度$\mu$的置信水平为95%的置信区间。 ### 步骤1：计算样本均值$\overline{x}$ 样本均值$\overline{x}$由以下公式给出： \[ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \] 其中$n = 9$是样本大小，$x_i$是样本值。样本值为：482, 493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 401。 首先，我们计算样本值的总和： \[ \sum_{i=1}^9 x_i = 482 + 493 + 457 + 471 + 510 + 446 + 435 + 418 + 401 = 4013 \] 现在，我们计算样本均值： \[ \overline{x} = \frac{4013}{9} \approx 445.89 \] ### 步骤2：计算样本方差$s^2$ 样本方差$s^2$由以下公式给出： \[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \] 首先，我们计算每个样本值与样本均值的偏差，然后将这些偏差平方： \[ \begin{aligned} (482 - 445.89)^2 &\approx 1282.67, \\ (493 - 445.89)^2 &\approx 2233.17, \\ (457 - 445.89)^2 &\approx 123.21, \\ (471 - 445.89)^2 &\approx 594.09, \\ (510 - 445.89)^2 &\approx 4284.09, \\ (446 - 445.89)^2 &\approx 0.01, \\ (435 - 445.89)^2 &\approx 118.81, \\ (418 - 445.89)^2 &\approx 769.09, \\ (401 - 445.89)^2 &\approx 1926.09. \end{aligned} \] 现在，我们对这些平方偏差求和： \[ \sum_{i=1}^9 (x_i - \overline{x})^2 \approx 1282.67 + 2233.17 + 123.21 + 594.09 + 4284.09 + 0.01 + 118.81 + 769.09 + 1926.09 = 10041.23 \] 最后，我们计算样本方差： \[ s^2 = \frac{10041.23}{8} \approx 1255.15 \] ### 步骤3：确定平均抗压强度$\mu$的置信水平为95%的置信区间 由于总体方差$\sigma^2$未知，我们使用t分布来构造置信区间。平均值$\mu$的置信水平为95%的置信区间由以下公式给出： \[ \overline{x} \pm t_{0.025}(8) \frac{s}{\sqrt{n}} \] 其中$t_{0.025}(8) = 2.3060$，$s = \sqrt{s^2} \approx \sqrt{1255.15} \approx 35.43$，$n = 9$。 首先，我们计算标准误： \[ \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{35.43}{3} \approx 11.81 \] 现在，我们计算边际误差： \[ t_{0.025}(8) \frac{s}{\sqrt{n}} \approx 2.3060 \times 11.81 \approx 27.21 \] 最后，我们构造置信区间： \[ \overline{x} \pm 27.21 \approx 445.89 \pm 27.21 \] 因此，置信区间为： \[ (418.68, 473.10) \] 平均抗压强度$\mu$的置信水平为95%的置信区间是 $\boxed{(418.68, 473.10)}$。