题目
3.设随机变量X~P(λ)，且P(X=1)=P(X=2)，求P(X=4)。
3.设随机变量X~P(λ)，且P{X=1}=P{X=2}，求P{X=4}。
题目解答
答案
设随机变量 $X$ 服从泊松分布 $P(\lambda)$，其概率质量函数为：
\[
P\{X=k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
\]
由题意 $P\{X=1\} = P\{X=2\}$，得：
\[
\lambda e^{-\lambda} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2}
\]
两边同时除以 $e^{-\lambda}$（$\lambda > 0$），得：
\[
\lambda = \frac{\lambda^2}{2} \implies \lambda = 2
\]
将 $\lambda = 2$ 代入概率质量函数，计算 $P\{X=4\}$：
\[
P\{X=4\} = \frac{2^4 e^{-2}}{4!} = \frac{16 e^{-2}}{24} = \frac{2 e^{-2}}{3}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{2}{3} e^{-2}}$（或 $\boxed{\frac{2}{3e^2}}$）
解析
考查要点：本题主要考查泊松分布的概率质量函数及其应用，以及通过已知条件求解参数λ的能力。
解题核心思路：
- 泊松分布公式：明确泊松分布的概率质量函数形式，即$P\{X=k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$。
- 建立方程：根据题目条件$P\{X=1\} = P\{X=2\}$，代入公式得到关于λ的方程。
- 求解参数λ：通过代数运算解方程，排除不合理解，确定λ的值。
- 计算目标概率：将求得的λ代入公式，计算$P\{X=4\}$。
破题关键点：
- 正确写出泊松分布的表达式，并注意分母的阶乘项。
- 消去公共因子$e^{-\lambda}$简化方程，避免复杂计算。
- 验证解的合理性，排除λ=0的无效解。
步骤1：写出泊松分布的概率质量函数
泊松分布的公式为：
$P\{X=k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
步骤2：根据条件建立方程
题目给出$P\{X=1\} = P\{X=2\}$，代入公式得：
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$
步骤3：化简方程
两边同时除以$e^{-\lambda}$（因$\lambda > 0$，$e^{-\lambda} \neq 0$）：
$\lambda = \frac{\lambda^2}{2}$
整理得：
$\lambda^2 - 2\lambda = 0 \implies \lambda(\lambda - 2) = 0$
解得$\lambda = 0$或$\lambda = 2$。因$\lambda > 0$，故$\lambda = 2$。
步骤4：计算$P\{X=4\}$
将$\lambda = 2$代入公式：
$P\{X=4\} = \frac{2^4 e^{-2}}{4!} = \frac{16 e^{-2}}{24} = \frac{2 e^{-2}}{3}$