题目
设总体 X sim N(2, 9)，X_1, X_2, ..., X_n 是来自总体的样本，overline(X) 为样本均值，则()。 A (overline(X)-2)/(9/n) sim N(0,1) B (overline(X)-2)/(sqrt(9/n)) sim N(0,1) C (overline(X)-2)/(3/sqrt(n)) sim N(0,1) D (overline(X)-2)/(sqrt(9/n)) sim N(0,1)
设总体 $X \sim N(2, 9)$，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体的样本，$\overline{X}$ 为样本均值，则()。
A $\frac{\overline{X}-2}{9/n} \sim N(0,1)$
B $\frac{\overline{X}-2}{\sqrt{9/n}} \sim N(0,1)$
C $\frac{\overline{X}-2}{3/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$
D $\frac{\overline{X}-2}{\sqrt{9/n}} \sim N(0,1)$
题目解答
答案
已知总体 $X \sim N(2, 9)$，即 $\mu = 2$，$\sigma^2 = 9$，$\sigma = 3$。样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(2, \frac{9}{n}\right)$。
标准化公式为：
\[
Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\overline{X} - 2}{3 / \sqrt{n}}
\]
由正态分布性质，$Z \sim N(0, 1)$。
选项中，只有C符合该形式（注意D与C相同，应为笔误）。
**答案：C**
解析
步骤 1：确定总体参数
已知总体 $X \sim N(2, 9)$，即总体均值 $\mu = 2$，总体方差 $\sigma^2 = 9$，总体标准差 $\sigma = \sqrt{9} = 3$。
步骤 2：确定样本均值的分布
样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，即 $N\left(2, \frac{9}{n}\right)$。
步骤 3：标准化样本均值
标准化公式为：\[ Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\overline{X} - 2}{3 / \sqrt{n}} \] 由正态分布性质，$Z \sim N(0, 1)$。
步骤 4：选择正确的选项
选项中，只有C符合该形式（注意D与C相同，应为笔误）。
已知总体 $X \sim N(2, 9)$，即总体均值 $\mu = 2$，总体方差 $\sigma^2 = 9$，总体标准差 $\sigma = \sqrt{9} = 3$。
步骤 2：确定样本均值的分布
样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，即 $N\left(2, \frac{9}{n}\right)$。
步骤 3：标准化样本均值
标准化公式为：\[ Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\overline{X} - 2}{3 / \sqrt{n}} \] 由正态分布性质，$Z \sim N(0, 1)$。
步骤 4：选择正确的选项
选项中，只有C符合该形式（注意D与C相同，应为笔误）。