1、已知随机变量X服从正态分布N(72,o^2),-|||-(Xgt 96)=0.023 ,求 (60lt Xlt 84)-|||-(参考数据 circled (1)(1)=0.841 , circled (1)(2)=0.977)

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化转换和标准正态分布函数Φ的运用。

解题核心思路：

1. 确定正态分布参数：通过已知条件$P(X>96)=0.023$，结合标准正态分布表，求出标准差σ。
2. 标准化转换：将区间端点60和84转换为标准正态变量Z，利用Φ的值计算概率。

破题关键点：

• 标准化公式：$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，将非标准正态分布转化为标准正态分布。
• 对称性应用：利用Φ(-z) = 1 - Φ(z)简化计算。

步骤1：求标准差σ

已知$P(X > 96) = 0.023$，标准化后：
$Z = \frac{96 - 72}{\sigma} = \frac{24}{\sigma}$
根据题意，$P(Z > \frac{24}{\sigma}) = 0.023$，即：
$P(Z \leq \frac{24}{\sigma}) = 1 - 0.023 = 0.977$
参考数据$\Phi(2) = 0.977$，故$\frac{24}{\sigma} = 2$，解得$\sigma = 12$。

步骤2：计算$P(60 < X < 84)$

将区间端点标准化：

• 当$X = 60$时，$Z_1 = \frac{60 - 72}{12} = -1$
• 当$X = 84$时，$Z_2 = \frac{84 - 72}{12} = 1$

所求概率为：
$P(60 < X < 84) = \Phi(1) - \Phi(-1)$
利用对称性$\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$，代入参考数据$\Phi(1) = 0.841$：
$P = 0.841 - (1 - 0.841) = 0.682$