题目

某地调查农作物总产量,该地共有大小不等的土地140块,总面积460亩,采用简单随机抽样调查10块土地,结果见表5.7。表5.7土地农作物产量抽查.-|||-面积/亩 3. 2.5 4.2 3.6. 1.8, 5.2 3.2 2.4 2.6. 1.2-|||-产量/斤, 1400 1120 1710 1500, 720 1980 1310 1080 1300 480试分别用简单估计量,比率估计量,回归估计量估计总产量,估计各估计量的标准差,并对上述结果进行比较分析。

某地调查农作物总产量,该地共有大小不等的土地140块,总面积460亩,采用简单随机抽样调查10块土地,结果见表5.7。

试分别用简单估计量,比率估计量,回归估计量估计总产量,估计各估计量的标准差,并对上述结果进行比较分析。

题目解答

答案

简单估计量: $140\times\left(\frac{1400+1120+1710+1500+720+1980+1310+1080+1300+480}{10}\right)=180600$

$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\right)^2\approx193333$

比率估计量: $\frac{1290}{2.99}\times460=198462.4$

$\nu(\hat{Y}_{R})=\frac{1-\frac{n}{N}}{n}\Big(s_{y}^{2}+\hat{R}^{2}s_{x}^{2}-2\hat{R}s_{xy}\Big)$

回归估计量: $y=\beta_0+\beta_1x$

最小二乘估计: $\beta_1=\frac{n\sum_{i=1}^nx_iy_i-\sum_{i=1}^nx_i\sum_{i=1}^ny_i}{n\sum_{i=1}^nx_i^2-\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2}$

$\beta_0=\overline{y}-\beta_1\overline{x}$

代入数据得 $y\approx703986.2$

$\nu(\hat{y}_{ir})=\frac{1-\frac nN}{n(n-2)}\sum\left(\left(y_i-\overline{y}\right)-b\left(x_i-\overline{x}\right)\right)^2$

解析

步骤 1：简单估计量
简单估计量是通过样本平均值来估计总体平均值，然后乘以总体的大小来估计总体的总产量。样本平均值是所有样本产量的平均值。
步骤 2：比率估计量
比率估计量是通过样本产量与样本面积的比率来估计总体产量。首先计算样本产量与样本面积的比率，然后乘以总体面积来估计总体产量。
步骤 3：回归估计量
回归估计量是通过样本产量与样本面积之间的线性关系来估计总体产量。首先计算样本产量与样本面积之间的回归系数，然后用回归方程来估计总体产量。
步骤 4：计算各估计量的标准差
标准差是衡量估计量的精度，通过计算样本方差来估计总体方差，然后计算标准差。
步骤 5：比较分析
比较分析各估计量的估计值和标准差，以确定哪个估计量更准确。