设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0,1)，则 E(Xe^2X)= ______.

我们要求的是随机变量 $ X \sim N(0,1) $ 的期望值：

$E(Xe^{2X})$

第一步：写出期望的定义

由于 $ X \sim N(0,1) $，其概率密度函数为：

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

根据期望的定义：

$E(Xe^{2X}) = \int_{-\infty}^{\infty} x e^{2x} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} \, dx$

将指数部分合并：

$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x \exp\left(2x - \frac{x^2}{2}\right) dx$

我们来整理指数部分：

$2x - \frac{x^2}{2} = -\frac{1}{2}(x^2 - 4x)$

配方：

$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 \Rightarrow -\frac{1}{2}(x^2 - 4x) = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 2$

所以：

$\exp\left(2x - \frac{x^2}{2}\right) = \exp\left(-\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 2\right) = e^2 \cdot \exp\left(-\frac{1}{2}(x - 2)^2\right)$

代入原积分：

$E(Xe^{2X}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot e^2 \cdot e^{-\frac{1}{2}(x - 2)^2} dx = \frac{e^2}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-\frac{1}{2}(x - 2)^2} dx$

第二步：变量替换

令 $ y = x - 2 $，则 $ x = y + 2 $，$ dx = dy $

代入得：

$= \frac{e^2}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} (y + 2) e^{-\frac{1}{2}y^2} dy$

拆开：

$= \frac{e^2}{\sqrt{2\pi}} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} y e^{-\frac{1}{2}y^2} dy + 2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}y^2} dy \right]$

分析两个积分：

1. $ \int_{-\infty}^{\infty} y e^{-\frac{1}{2}y^2} dy $：被积函数是奇函数，在对称区间上积分为 0。

2. $ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}y^2} dy = \sqrt{2\pi} $，这是标准正态分布去掉系数的部分。

所以：

$E(Xe^{2X}) = \frac{e^2}{\sqrt{2\pi}} \left[ 0 + 2 \cdot \sqrt{2\pi} \right] = \frac{e^2}{\sqrt{2\pi}} \cdot 2\sqrt{2\pi} = 2e^2$

答案：

$\boxed{2e^2}$

小结：

我们通过直接计算期望积分，配方并进行变量替换，利用正态分布的性质完成了计算。关键在于将 $ e^{2x} $ 与原密度函数结合，形成一个新的正态分布核，从而简化积分。