设 X sim N(mu, sigma^2), X_1, X_2, ..., X_n 为简单随机样本, overline(X) 和 S^2 分别是样本均值和样本方差, 则有 ()- chi^2(n-1)A. ((n-1)S^2)/(sigma^2)B. (nS^2)/(sigma^2)C. (sum_(i=1)^4(X_i-overline(X))^2)/(sigma^2/n)D. (sum_(i=1)^4(X_i-overline(X))^2)/(sigma^2/(n-1))

本题主要考察抽样分布中卡方分布的典型形式，具体涉及正态总体下样本方差与总体方差比值的分布。

关键知识点回顾

对于正态总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为简单随机样本，样本均值为 $\overline{X}$，样本方差为 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，则有统计量：
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
该统计量服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布，这是卡方分布的重要应用场景。

选项分析

• 选项A：$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$，直接匹配上述结论，服从 $\chi^2(n-1)$，正确。
• 选项B：$\frac{nS^2}{\sigma^2}$，对比标准形式，分子多了一个 $n$ 而非 $n-1$，不服从 $\chi^2(n-1)$，错误。
• 选项C：$\frac{\sum_{i=1}^4 (X_i - \overline{X})^2}{\sigma^2/n}$，分母为 $\sigma^2/n$，等价于 $\frac{n\sum (X_i - \overline{X})^2}{\sigma^2}$，与标准形式不符，错误。
• 选项D：$\frac{\sum_{i=1}^4 (X_i - \overline{X})^2}{\sigma^2/(n-1)}$，分母为 $\sigma^2/(n-1)$，等价于 $\frac{(n-1)\sum (X_i - \overline{X})^2}{\sigma^2}$，但求和仅到 $i=4$（而非 $n$），样本量不完整，错误。