31. (1.5分) 随机抽取某市12名男孩，测得其体重均值为3.2kg，标准差为0.5kg，则总体均数的95%可信区间是: ( )A. 3.2pm t_(0.05/2,11)times 0.5/sqrt(11)B. 3.2pm t_(0.05/2,11)times 0.5/sqrt(12)C. 3.2pm t_(0.05/2,12)times 0.5/sqrt(12)D. 3.2pm 1.96times 0.5/sqrt(12)

考查要点：本题主要考查小样本均值的可信区间计算，涉及t分布的应用及自由度的确定。

解题核心思路：

1. 判断分布类型：样本量为12（小样本），且总体标准差未知，使用t分布。
2. 确定公式：可信区间公式为 $\bar{x} \pm t_{\alpha/2, \nu} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$，其中 $\nu = n-1$。
3. 代入参数：注意自由度 $\nu = 11$，标准误分母为 $\sqrt{n}$。

破题关键点：

• 区分t分布与正态分布：小样本用t分布，大样本（n≥30）可用正态分布。
• 自由度计算：自由度 $\nu = n-1$，而非直接取样本量。

公式推导

总体均值的95%可信区间公式为：
$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, \nu} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$
其中：

• $\bar{x} = 3.2$（样本均值）
• $s = 0.5$（样本标准差）
• $n = 12$（样本量）
• $\alpha = 0.05$（显著性水平）
• $\nu = n-1 = 11$（自由度）

选项分析

• 选项A：分母为 $\sqrt{11}$，错误（标准误分母应为 $\sqrt{n}$）。
• 选项B：自由度 $\nu = 11$，分母 $\sqrt{12}$，正确。
• 选项C：自由度 $\nu = 12$，错误（自由度应为 $n-1$）。
• 选项D：使用 $1.96$（正态分布临界值），错误（小样本需用t分布）。