5.设总体X,Y独立,且都服从正态分布N(0,9), X_(1),X_(2), ... ,X_(9) 与 Y_(1),Y_(2), ... ,Y_(9) 是分别来自动体X,Y的简单样本,统计量 W= (X_(1)+X_(2)+ ... +X_(9))/( sqrt (Y_{1)^2+Y_{2)^2+ ... +Y_(9)^2}} 所服从的分布( )A. x^2(9)B. F(9,9)C. N(0,9)D. t(9)

本题考查正态分布、$\chi^{2}$分布、$t$分布的定义及性质，解题的关键在于将给定的统计量$W$转化为符合$t$分布定义的形式。

步骤一：分析分子部分

已知总体$X\sim N(0,9)$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{9}$是来自总体$X$的简单样本。
根据正态分布的性质：若$X_{i}\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$i = 1,2,\cdots,n$，且相互独立，则$\sum_{i = 1}^{n}X_{i}\sim N(n\mu,n\sigma^{2})$。
对于本题，$\mu = 0$，$\sigma^{2}=9$，$n = 9$，所以$X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{9}\sim N(9\times0,9\times9)=N(0,81)$。
再根据正态分布的标准化公式：若$Z\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$\frac{Z - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，对$X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{9}$进行标准化，可得$\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{9}}{\sqrt{81}}=\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{9}}{9}\sim N(0,1)$。

步骤二：分析分母部分

已知总体$Y\sim N(0,9)$，则$\frac{Y_{i}}{3}\sim N(0,1)$，$i = 1,2,\cdots,9$。
根据$\chi^{2}$分布的定义：若$Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{n}$相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$，则$\sum_{i = 1}^{n}Z_{i}^{2}\sim\chi^{2}(n)$。
所以$\sum_{i = 1}^{9}(\frac{Y_{i}}{3})^{2}=\frac{1}{9}\sum_{i = 1}^{9}Y_{i}^{2}\sim\chi^{2}(9)$。

步骤三：分析统计量$W$

将统计量$W=\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{9}}{\sqrt{Y_{1}^{2}+Y_{2}^{2}+\cdots +Y_{9}^{2}}}$进行变形：
$W=\frac{\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{9}}{9}}{\sqrt{\frac{Y_{1}^{2}+Y_{2}^{2}+\cdots +Y_{9}^{2}}{9\times9}}}$
由前面的分析可知$\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{9}}{9}\sim N(0,1)$，$\frac{1}{9}\sum_{i = 1}^{9}Y_{i}^{2}\sim\chi^{2}(9)$。
根据$t$分布的定义：若$U\sim N(0,1)$，$V\sim\chi^{2}(n)$，且$U$与$V$相互独立，则$T=\frac{U}{\sqrt{\frac{V}{n}}}\sim t(n)$。
在本题中，$U = \frac{X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{9}}{9}$，$V=\frac{1}{9}\sum_{i = 1}^{9}Y_{i}^{2}$，$n = 9$，所以$W\sim t(9)$。