2.设总体X的分布律为-|||-X 0 1 2 3-|||-p θ^2 (1-theta ) θ^2 1-20-|||-其中 theta (0lt theta lt dfrac (1)(2)) 是未知参数.利用总体X的如下样本值:3,1,3,0,3,1,2,3,求θ的矩估-|||-计值和极大似然估计值.

步骤 1：求矩估计值
矩估计法是利用样本矩来估计总体中相应的参数。首先，计算样本的均值，然后根据总体的分布律，将样本均值与总体均值相等，求解未知参数。
样本均值 $\bar{x} = \dfrac{3+1+3+0+3+1+2+3}{8} = \dfrac{16}{8} = 2$。
总体均值 $E(X) = 0 \times \theta^2 + 1 \times 2\theta(1-\theta) + 2 \times \theta^2 + 3 \times (1-2\theta) = 2\theta(1-\theta) + 2\theta^2 + 3(1-2\theta) = 2\theta - 2\theta^2 + 2\theta^2 + 3 - 6\theta = 3 - 4\theta$。
令 $E(X) = \bar{x}$，即 $3 - 4\theta = 2$，解得 $\theta = \dfrac{1}{4}$。

步骤 2：求极大似然估计值
极大似然估计法是利用似然函数来估计未知参数。首先，写出似然函数，然后对似然函数取对数，求导数，令导数等于0，求解未知参数。
似然函数 $L(\theta) = \theta^2 \times (2\theta(1-\theta))^2 \times \theta^2 \times (1-2\theta)^3$。
对数似然函数 $\ln L(\theta) = 2\ln\theta + 2\ln(2\theta(1-\theta)) + 2\ln\theta + 3\ln(1-2\theta)$。
对 $\ln L(\theta)$ 求导，得 $\dfrac{d\ln L(\theta)}{d\theta} = \dfrac{2}{\theta} + \dfrac{2(2-4\theta)}{2\theta(1-\theta)} + \dfrac{2}{\theta} + \dfrac{-6}{1-2\theta}$。
令 $\dfrac{d\ln L(\theta)}{d\theta} = 0$，解得 $\theta = \dfrac{7-\sqrt{13}}{12}$。