题目

f(z) = u + iv 是解析函数，其中[ u = kx^2y - y^3 ]，则 k=


$f(z) = u + iv$ 是解析函数，其中
$u = kx^2y - y^3$

，则 $k=$

题目解答

答案

由题意，$ f(z) = u + iv $ 是解析函数，其中 $ u = kx^2y - y^3 $。根据解析函数的性质，$ u $ 必须满足拉普拉斯方程：
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0.$
计算二阶偏导数：
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 2ky, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -6y.$
代入拉普拉斯方程：
$2ky - 6y = (2k - 6)y = 0.$
由于 $ y $ 任意，系数必须为零：
$2k - 6 = 0 \implies k = 3.$

答案： $\boxed{3}$

解析

本题考查解析函数的性质以及拉普拉斯方程的应用。解题思路是利用解析函数的实部满足拉普拉斯方程这一性质来求解参数 $k$ 的值。具体步骤如下：

  1. 明确解析函数的实部 $u$ 需满足拉普拉斯方程 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$。
  2. 对给定的实部函数 $u = kx^2y - y^3$ 分别求关于 $x$ 和 $y$ 的二阶偏导数。
    • 求 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$：
      • 先对 $u$ 关于 $x$ 求一阶偏导数，根据求导公式 $(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，$y$ 看作常数，可得 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(kx^2y - y^3)=2kxy$。
      • 再对 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 关于 $x$ 求偏导数，可得 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}(2kxy)=2ky$。
    • 求 $\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$：
      • 先对 $u$ 关于 $y$ 求一阶偏导数，$x$ 看作常数，可得 $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(kx^2y - y^3)=kx^2 - 3y^2$。
      • 再对 $\frac{\partial u}{\partial y}$ 关于 $y$ 求偏导数，可得 $\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}(kx^2 - 3y^2)= - 6y$。
  3. 将求得的二阶偏导数代入拉普拉斯方程 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$，得到 $2ky - 6y = 0$，提取公因式 $y$ 后为 $(2k - 6)y = 0$。
  4. 因为 $y$ 是任意的，要使等式恒成立，则系数 $2k - 6$ 必须为 $0$，即 $2k - 6 = 0$。
  5. 解上述方程 $2k - 6 = 0$，移项可得 $2k = 6$，两边同时除以 $2$，解得 $k = 3$。