设总体 X sim N(mu, sigma^2), sigma^2 已知, 则均值 mu 的置信区间长度 L 与置信度 1-alpha 的关系是 ().A. 当 1-alpha 减小时, L 缩短;B. 当 1-alpha 减小时, L 增大;C. 当 1-alpha 减小时, L 不变;D. 以上说法均不对.

本题考查正态总体均值的置信区间以及置信区间长度与置信度之间的关系。解题的关键在于明确在总体方差 $\sigma^2$ 已知的情况下，正态总体均值 $\mu$ 的置信区间的计算公式，进而得出置信区间长度的表达式，再分析置信度 $1 - \alpha$ 变化时对置信区间长度的影响。

1. 确定正态总体均值 $\mu$ 的置信区间：
   • 已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma^2$ 已知，样本容量为 $n$，样本均值为 $\bar{X}$。
   • 根据正态分布的性质，统计量 $Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$。
   • 对于给定的置信度 $1 - \alpha$，存在 $z_{\alpha/2}$ 使得 $P\left\{-z_{\alpha/2}<\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}
   • 对不等式进行变形：
     • 由 $-z_{\alpha/2}<\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}
     • 进一步得到 $\bar{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\bar{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，所以均值 $\mu$ 的置信度为 $1 - \alpha$ 的置信区间为 $\left(\bar{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$。
2. 计算置信区间长度 $L$：
   • 置信区间长度 $L$ 等于置信区间的上限减去下限，即 $L = (\bar{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})-(\bar{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$。
   • 化简可得 $L = 2z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
3. 分析置信度 $1 - \alpha$ 变化对 $L$ 的影响：
   • 当 $1 - \alpha$ 减小时，$\alpha$ 增大，那么 $\alpha/2$ 也增大。
   • 因为 $z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数，标准正态分布的上侧分位数随着分位点的增大而减小，所以当 $\alpha/2$ 增大时，$z_{\alpha/2}$ 减小。
   • 又因为 $\sigma$ 和 $n$ 是固定的，在 $L = 2z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 中，$z_{\alpha/2}$ 减小会导致 $L$ 缩短。