题目
16.主观题(22分)已知线性方程组(}2&4&-42&2&24&4&2，则用高斯赛德尔迭代法迭代两次后的近似解为多少？(3)分析这两种迭代法的收敛性。注：要求写出过程，拍照上传答案。
16.主观题(22分)
已知线性方程组$\left(\begin{matrix}2&4&-4\\2&2&2\\4&4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\\3\end{matrix}\right)$，用雅克比和高斯赛德尔迭代法求解此方程组；(1)写出雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的分量形式；(2)若取初值$x^{(0)}=(0,0,0)^{T}$，则用高斯赛德尔迭代法迭代两次后的近似解为多少？(3)分析这两种迭代法的收敛性。注：要求写出过程，拍照上传答案。
题目解答
答案
1. **雅克比迭代法**
分量形式：
\[
\begin{cases}
x_1^{(k+1)} = 1 - 2x_2^{(k)} + 2x_3^{(k)} \\
x_2^{(k+1)} = \frac{1}{2} - x_1^{(k)} - x_3^{(k)} \\
x_3^{(k+1)} = \frac{3}{2} - 2x_1^{(k)} - 2x_2^{(k)}
\end{cases}
\]
2. **高斯赛德尔迭代法**
分量形式：
\[
\begin{cases}
x_1^{(k+1)} = 1 - 2x_2^{(k)} + 2x_3^{(k)} \\
x_2^{(k+1)} = \frac{1}{2} - x_1^{(k+1)} - x_3^{(k)} \\
x_3^{(k+1)} = \frac{3}{2} - 2x_1^{(k+1)} - 2x_2^{(k+1)}
\end{cases}
\]
3. **迭代两次结果**
初始值 $x^{(0)} = (0,0,0)^T$，
\[
\boxed{\left( 3, -3, \frac{3}{2} \right)^T}
\]
4. **收敛性分析**
**答案：两种迭代法均不收敛。**