25.单选题当lambda,mu取何值时，齐次线性方程组}lambda x_(1)+x_(2)+x_(3)=0,x_(1)+mu x_(2)+x_(3)=0,x_(1)+2mu x_(2)+x_(3)=0有非零解? ( )A. lambda=-1或mu=0B. lambda=1或mu=0C. lambda=0或mu=-1D. lambda=0或mu=1

本题考查齐次线性方程组有非零解的条件，解题思路是根据齐次线性方程组有非零解的充要条件为其系数行列式等于零，先写出该方程组的系数行列式，再令其等于零，最后求解关于$\lambda$和$\mu$的方程。

1. 首先，写出给定齐次线性方程组的系数行列式$D$：
   已知齐次线性方程组$\begin{cases}\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\\x_{1}+\mu x_{2}+x_{3}=0\\x_{1}+2\mu x_{2}+x_{3}=0\end{cases}$，其系数行列式$D=\begin{vmatrix}\lambda&1&1\\1&\mu&1\\1&2\mu&1\end{vmatrix}$。
2. 然后，根据三阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}=a_{1}\begin{vmatrix}b_{2}&c_{2}\\b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}-b_{1}\begin{vmatrix}a_{2}&c_{2}\\a_{3}&c_{3}\end{vmatrix}+c_{1}\begin{vmatrix}a_{2}&b_{2}\\a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}$来计算$D$的值：
   $\begin{align*}D&=\lambda\begin{vmatrix}\mu&1\\2\mu&1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1&\mu\\1&2\mu\end{vmatrix}\\&=\lambda(\mu\times1 - 2\mu\times1)-1\times(1\times1 - 1\times1)+1\times(1\times2\mu - 1\times\mu)\\&=\lambda(\mu - 2\mu)-1\times(1 - 1)+1\times(2\mu - \mu)\\&=\lambda\times(-\mu)-1\times0 + 1\times\mu\\&=-\lambda\mu+\mu\\&=\mu(1 - \lambda)\end{align*}$
3. 接着，因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式$D = 0$，所以令$D = 0$，即$\mu(1 - \lambda)=0$。
4. 最后，求解$\mu(1 - \lambda)=0$：
   根据乘法的性质，若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$，可得$\mu = 0$或$1 - \lambda = 0$，由$1 - \lambda = 0$解得$\lambda = 1$。