题目
设总体 X sim N(0,1)，X_1, X_2, X_3, X_4 是来自总体 X 的样本，又设Y = (X_1 + X_2)^2 + (X_3 + X_4)^2，若 cY sim chi^2(2)，则常数 c = ____；
设总体 $X \sim N(0,1)$，$X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自总体 $X$ 的样本，又设
$Y = (X_1 + X_2)^2 + (X_3 + X_4)^2$，若 $cY \sim \chi^2(2)$，则常数 $c = \_\_\_\_$；
题目解答
答案
设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 独立同分布于 $N(0,1)$，则 $X_1 + X_2 \sim N(0,2)$，$X_3 + X_4 \sim N(0,2)$。
标准化得：
$$
\frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}} \sim N(0,1), \quad \frac{X_3 + X_4}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)
$$
平方后服从自由度为1的卡方分布：
$$
\left( \frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}} \right)^2 \sim \chi^2(1), \quad \left( \frac{X_3 + X_4}{\sqrt{2}} \right)^2 \sim \chi^2(1)
$$
两独立卡方分布相加得自由度为2的卡方分布：
$$
\frac{(X_1 + X_2)^2}{2} + \frac{(X_3 + X_4)^2}{2} = \frac{Y}{2} \sim \chi^2(2)
$$
因此，常数 $c = \frac{1}{2}$。
答案：$\boxed{\frac{1}{2}}$