题目

设总体 X sim N(0,1)，X_1, X_2, X_3, X_4 是来自总体 X 的样本，又设Y = (X_1 + X_2)^2 + (X_3 + X_4)^2，若 cY sim chi^2(2)，则常数 c = ____；

设总体 $X \sim N(0,1)$，$X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自总体 $X$ 的样本，又设

$Y = (X_1 + X_2)^2 + (X_3 + X_4)^2$，若 $cY \sim \chi^2(2)$，则常数 $c = \_\_\_\_$；

题目解答

答案

设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 独立同分布于 $N(0,1)$，则 $X_1 + X_2 \sim N(0,2)$，$X_3 + X_4 \sim N(0,2)$。 标准化得： $$ \frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}} \sim N(0,1), \quad \frac{X_3 + X_4}{\sqrt{2}} \sim N(0,1) $$ 平方后服从自由度为1的卡方分布： $$ \left( \frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}} \right)^2 \sim \chi^2(1), \quad \left( \frac{X_3 + X_4}{\sqrt{2}} \right)^2 \sim \chi^2(1) $$ 两独立卡方分布相加得自由度为2的卡方分布： $$ \frac{(X_1 + X_2)^2}{2} + \frac{(X_3 + X_4)^2}{2} = \frac{Y}{2} \sim \chi^2(2) $$ 因此，常数 $c = \frac{1}{2}$。 答案：$\boxed{\frac{1}{2}}$

解析

本题考查正态分布的性质、卡方分布的定义及性质。解题的关键思路是先根据正态分布的性质求出$X_1 + X_2$与$X_3 + X_4$的分布，再将其标准化，利用卡方分布的定义得到与$Y$相关的卡方分布，最后确定常数$c$的值。

  1. 求$X_1 + X_2$与$X_3 + X_4$的分布：
    已知总体$X \sim N(0,1)$，$X_1, X_2, X_3, X_4$是来自总体$X$的样本，所以$X_1, X_2, X_3, X_4$独立同分布于$N(0,1)$。
    根据正态分布的性质：若$X_i\sim N(\mu_i,\sigma_i^2)$，$i = 1,2$，且$X_1$与$X_2$相互独立，则$X_1 + X_2\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$。
    对于$X_1 + X_2$，$\mu_1=\mu_2 = 0$，$\sigma_1^2=\sigma_2^2 = 1$，所以$X_1 + X_2 \sim N(0,2)$；同理，$X_3 + X_4 \sim N(0,2)$。
  2. 对$X_1 + X_2$与$X_3 + X_4$进行标准化：
    若$Z\sim N(\mu,\sigma^2)$，则$\frac{Z - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$。
    对于$X_1 + X_2 \sim N(0,2)$，$\mu = 0$，$\sigma = \sqrt{2}$，所以$\frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$；同理，$\frac{X_3 + X_4}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$。
  3. 根据卡方分布的定义得到相关卡方分布：
    卡方分布的定义为：若$Z\sim N(0,1)$，则$Z^2\sim \chi^2(1)$。
    因为$\frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$，所以$\left( \frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}} \right)^2 \sim \chi^2(1)$；同理，$\left( \frac{X_3 + X_4}{\sqrt{2}} \right)^2 \sim \chi^2(1)$。
  4. 利用卡方分布的可加性得到自由度为$2$的卡方分布：
    卡方分布的可加性为：若$Z_1\sim \chi^2(n_1)$，$Z_2\sim \chi^2(n_2)$，且$Z_1$与$Z_2$相互独立，则$Z_1 + Z_2\sim \chi^2(n_1 + n_2)$。
    由于$\left( \frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}} \right)^2 \sim \chi^2(1)$，$\left( \frac{X_3 + X_4}{\sqrt{2}} \right)^2 \sim \chi^2(1)$，且$X_1, X_2, X_3, X_4$相互独立，所以$\left( \frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}} \right)^2$与$\left( \frac{X_3 + X_4}{\sqrt{2}} \right)^2$相互独立，则$\frac{(X_1 + X_2)^2}{2} + \frac{(X_3 + X_4)^2}{2} = \frac{Y}{2} \sim \chi^2(2)$。
  5. 确定常数$c$的值：
    已知$cY \sim \chi^2(2)$，又因为$\frac{Y}{2} \sim \chi^2(2)$，所以$c = \frac{1}{2}$。