题目

19. (4.0分) 把3本不同的书摆放到书架上，一共有____种放法。 第1空

19. (4.0分) 把3本不同的书摆放到书架上，一共有____种放法。 第1空

题目解答

答案

将3本不同的书摆放到书架上，相当于求3个不同物品的排列数。根据排列公式，n个不同物品的排列数为 $n!$。对于3本书，排列数为： \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \] 或者，可以列出所有可能的排列：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共6种。 **答案：** $\boxed{6}$

解析

本题考查排列组合的知识，解题思路是通过排列数公式或者列举法来计算$3$本不同书的摆放方法数。

  • 方法一：使用排列数公式
    排列数公式为$A_{n}^m=\frac{n!}{(n - m)!}$，当$m = n$时，$A_{n}^n=n!$，$n!$表示$n$的阶乘，即$n!=n\times(n - 1)\times(n - 2)\times\cdots\times1$。
    在本题中，要把$3$本不同的书摆放到书架上，相当于求$3$个不同物品的全排列，即$n = 3$，$m = 3$，那么排列数为$A_{3}^3$。
    根据排列数公式可得：
    $A_{3}^3=\frac{3!}{(3 - 3)!}=\frac{3!}{0!}$
    因为$0!=1$，所以$A_{3}^3 = 3!=3\times2\times1 = 6$。
  • 方法二：列举法
    设这$3$本书分别为$A$、$B$、$C$，那么所有可能的排列情况如下：
    • 当第一本书是$A$时，有$ABC$、$ACB$两种排列；
    • 当第一本书是$B$时，有$BAC$、$BCA$两种排列；
    • 当第一本书是$C$时，有$CAB$、$CBA$两种排列。
      所以一共有$2 + 2 + 2 = 6$种不同的放法。