函数 f(t) = 8u(t-4) + e^-2tsin(10t) 的拉氏变换为：A. F(s) = (8)/(s) e^-4s + (10)/((s+2)^2 + 100)B. F(s) = (8)/(s) e^-4s + (10)/((s-2)^2 + 100)C. F(s) = (8)/(s) e^4s + (s+2)/((s+2)^2 + 100)D. F(s) = (8)/(s) e^4s + (s-2)/((s-2)^2 + 100)

本题考查拉普拉斯变换的基本性质和常见函数的拉普拉斯变换公式。解题思路是将函数$f(t) = 8u(t - 4) + e^{-2t}\sin(10t)$拆分成两个部分，分别对这两部分求拉普拉斯变换，最后将结果相加。

1. 求$8u(t - 4)$的拉普拉斯变换

• 首先，我们知道单位阶跃函数$u(t)$的拉普拉斯变换为$\mathcal{L}\{u(t)\}=\frac{1}{s}$，$s>0$。
• 根据拉普拉斯变换的时移性质：若$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$，则$\mathcal{L}\{f(t - t_0)u(t - t_0)\}=e^{-st_0}F(s)$。
• 对于$8u(t - 4)$，这里$f(t)=u(t)$，$t_0 = 4$，$F(s)=\frac{1}{s}$，所以$\mathcal{L}\{8u(t - 4)\}=8\mathcal{L}\{u(t - 4)\}$。
• 由时移性质可得$\mathcal{L}\{u(t - 4)\}=e^{-4s}\frac{1}{s}$，那么$\mathcal{L}\{8u(t - 4)\}=8\times\frac{1}{s}e^{-4s}=\frac{8}{s}e^{-4s}$。

2. 求$e^{-2t}\sin(10t)$的拉普拉斯变换

• 我们知道$\sin(\omega t)$的拉普拉斯变换为$\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}$，$s > 0$。
• 根据拉普拉斯变换的频移性质：若$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$，则$\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\}=F(s + a)$。
• 对于$e^{-2t}\sin(10t)$，这里$f(t)=\sin(10t)$，$\omega = 10$，$a = 2$，$F(s)=\frac{10}{s^{2}+10^{2}}$。
• 由频移性质可得$\mathcal{L}\{e^{-2t}\sin(10t)\}=\frac{10}{(s + 2)^{2}+10^{2}}=\frac{10}{(s + 2)^{2}+100}$。

3. 求$f(t)$的拉普拉斯变换

• 因为$f(t)=8u(t - 4)+e^{-2t}\sin(10t)$，根据拉普拉斯变换的线性性质$\mathcal{L}\{f_1(t)+f_2(t)\}=\mathcal{L}\{f_1(t)\}+\mathcal{L}\{f_2(t)\}$。
• 所以$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\mathcal{L}\{8u(t - 4)\}+\mathcal{L}\{e^{-2t}\sin(10t)\}=\frac{8}{s}e^{-4s}+\frac{10}{(s + 2)^{2}+100}$。