题目
设theta为总体X中的一个未知参数，X_1, X_2, ..., X_n为它的一个样本，x_1, x_2, ..., x_n为对应的样本值，hat(theta) = hat(theta)(X_1, X_2, ..., X_n)为theta的一个估计，则下面表述不正确的是()。 A. hat(theta) = hat(theta)(X_1, X_2, ..., X_n)是随机变量.B. hat(theta) = hat(theta)(x_1, x_2, ..., x_n)是数量.C. hat(theta)(x_1, x_2, ..., x_n)可作为theta的一个估计值.D. hat(theta)(X_1, X_2, ..., X_n)可作为theta的一个估计值.
设$\theta$为总体$X$中的一个未知参数，$X_1, X_2, \cdots, X_n$为它的一个样本，$x_1, x_2, \cdots, x_n$为对应的样本值，$\hat{\theta} = \hat{\theta}(X_1, X_2, \cdots, X_n)$为$\theta$的一个估计，则下面表述不正确的是()。
- A. $\hat{\theta} = \hat{\theta}(X_1, X_2, \cdots, X_n)$是随机变量.
- B. $\hat{\theta} = \hat{\theta}(x_1, x_2, \cdots, x_n)$是数量.
- C. $\hat{\theta}(x_1, x_2, \cdots, x_n)$可作为$\theta$的一个估计值.
- D. $\hat{\theta}(X_1, X_2, \cdots, X_n)$可作为$\theta$的一个估计值.
题目解答
答案
为了确定哪个表述不正确，让我们逐步分析每个选项。
1. **选项A: $\hat{\theta}(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$是随机变量.**
估计量$\hat{\theta}(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$是随机变量$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$的函数。由于$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是随机变量，$\hat{\theta}(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$也是随机变量。这个表述是正确的。
2. **选项B: $\hat{\theta}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$是数量.**
估计值$\hat{\theta}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$是具体观察值$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的函数。由于$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$是具体数字，$\hat{\theta}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$也是具体数字。这个表述是正确的。
3. **选项C: $\hat{\theta}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$可作为θ的一个估计值.**
估计值$\hat{\theta}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$是θ的一个具体估计，基于观察到的数据。这个表述是正确的。
4. **选项D: $\hat{\theta}(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$可作为θ的一个估计值.**
估计量$\hat{\theta}(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$是一个随机变量，而不是一个具体数字。它代表了基于随机样本的θ的估计，但本身不是一个具体估计值。这个表述是不正确的。
因此，不正确的表述是$\boxed{D}$。
解析
步骤 1：分析选项A
$\hat{\theta}(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$是随机变量$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$的函数。由于$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是随机变量，$\hat{\theta}(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$也是随机变量。因此，选项A的表述是正确的。
步骤 2：分析选项B
$\hat{\theta}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$是具体观察值$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的函数。由于$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$是具体数字，$\hat{\theta}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$也是具体数字。因此，选项B的表述是正确的。
步骤 3：分析选项C
$\hat{\theta}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$是基于观察到的数据$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的θ的具体估计值。因此，选项C的表述是正确的。
步骤 4：分析选项D
$\hat{\theta}(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$是一个随机变量，而不是一个具体数字。它代表了基于随机样本的θ的估计，但本身不是一个具体估计值。因此，选项D的表述是不正确的。
$\hat{\theta}(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$是随机变量$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$的函数。由于$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是随机变量，$\hat{\theta}(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$也是随机变量。因此，选项A的表述是正确的。
步骤 2：分析选项B
$\hat{\theta}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$是具体观察值$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的函数。由于$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$是具体数字，$\hat{\theta}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$也是具体数字。因此，选项B的表述是正确的。
步骤 3：分析选项C
$\hat{\theta}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$是基于观察到的数据$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的θ的具体估计值。因此，选项C的表述是正确的。
步骤 4：分析选项D
$\hat{\theta}(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$是一个随机变量，而不是一个具体数字。它代表了基于随机样本的θ的估计，但本身不是一个具体估计值。因此，选项D的表述是不正确的。