4.设总体 sim N(mu ,(5)^2)-|||-(1)从总体中抽取容量为64的样本,求样本均值X与总体均值之差的绝对值小于1的概-|||-率 (|overline (X)-mu |lt 1);-|||-(2)抽取样本容量n多大时,才能使概率 (|overline (X)-mu |lt 1) 达到0.95?

考查要点：本题主要考查正态分布下样本均值的抽样分布以及中心极限定理的应用，涉及标准化转换和标准正态分布表的使用，同时需要根据概率要求反推样本容量。

解题核心思路：

1. 样本均值的分布：由中心极限定理，样本均值$\overline{X}$服从正态分布$N\left(\mu, \frac{5^2}{n}\right)$。
2. 标准化转换：将$|\overline{X} - \mu| < 1$转化为标准正态变量$Z$的范围，利用标准正态分布表计算概率。
3. 反推样本容量：根据给定概率$0.95$，确定对应的$Z$临界值，建立方程求解$n$。

破题关键点：

• 标准化公式：$\frac{\overline{X} - \mu}{5/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$。
• 临界值对应关系：概率$0.95$对应$Z = \pm 1.96$。

第（1）题

计算样本均值的标准差

样本均值的标准差为$\frac{5}{\sqrt{64}} = \frac{5}{8} = 0.625$。

标准化不等式

将$|\overline{X} - \mu| < 1$标准化：
$\left| \frac{\overline{X} - \mu}{0.625} \right| < \frac{1}{0.625} = 1.6$

查标准正态分布表

$P(-1.6 < Z < 1.6) = 2 \cdot \Phi(1.6) - 1$，其中$\Phi(1.6) = 0.9452$，因此：
$P = 2 \cdot 0.9452 - 1 = 0.8904$

第（2）题

确定临界值

概率$0.95$对应$Z = \pm 1.96$。

建立方程

由$\frac{1}{5/\sqrt{n}} = 1.96$，解得：
$\sqrt{n} = 1.96 \cdot 5 = 9.8 \quad \Rightarrow \quad n \approx 9.8^2 = 96.04$

取整数

取$n \approx 96$。