4.设总体 sim N(mu ,(5)^2)-|||-(1)从总体中抽取容量为64的样本,求样本均值X与总体均值之差的绝对值小于1的概-|||-率 (|overline (X)-mu |lt 1);-|||-(2)抽取样本容量n多大时,才能使概率 (|overline (X)-mu |lt 1) 达到0.95?

步骤 1：计算样本均值的分布
由于总体 $X\sim N(\mu ,{5}^{2})$，样本容量为64，根据中心极限定理，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，即 $\overline{X}\sim N(\mu ,\frac{{5}^{2}}{64})$。因此，$\overline{X}$ 的标准差为 $\frac{5}{\sqrt{64}}=\frac{5}{8}$。

步骤 2：计算概率 $P(|\overline{X}-\mu |\lt 1)$
要计算 $P(|\overline{X}-\mu |\lt 1)$，首先将不等式转化为标准正态分布的形式。由于 $\overline{X}\sim N(\mu ,\frac{{5}^{2}}{64})$，我们有
$$
P(|\overline{X}-\mu |\lt 1) = P\left(-1\lt \overline{X}-\mu \lt 1\right) = P\left(-\frac{1}{\frac{5}{8}}\lt \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{5}{8}}\lt \frac{1}{\frac{5}{8}}\right) = P\left(-\frac{8}{5}\lt Z\lt \frac{8}{5}\right)
$$
其中 $Z$ 是标准正态分布的随机变量。根据标准正态分布表，$P\left(-\frac{8}{5}\lt Z\lt \frac{8}{5}\right) = 2\Phi\left(\frac{8}{5}\right)-1$，其中 $\Phi$ 是标准正态分布的累积分布函数。查表或使用计算器，得到 $\Phi\left(\frac{8}{5}\right) \approx 0.9332$，因此
$$
P(|\overline{X}-\mu |\lt 1) = 2\Phi\left(\frac{8}{5}\right)-1 \approx 2\times 0.9332-1 = 0.8664
$$

步骤 3：计算样本容量n
要使 $P(|\overline{X}-\mu |\lt 1)$ 达到0.95，我们需要找到合适的样本容量n。根据步骤2的计算，我们有
$$
P(|\overline{X}-\mu |\lt 1) = 2\Phi\left(\frac{1}{\frac{5}{\sqrt{n}}}\right)-1 = 0.95
$$
解这个方程，得到
$$
\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{5}\right) = 0.975
$$
查表或使用计算器，得到 $\Phi^{-1}(0.975) \approx 1.96$，因此
$$
\frac{\sqrt{n}}{5} = 1.96 \Rightarrow \sqrt{n} = 9.8 \Rightarrow n \approx 96
$$