(2)计算下列极限:-|||-(1) lim _(xarrow 0)((1-x))^dfrac (1{x)} ;-|||-(3) lim _(xarrow infty )((dfrac {1+x)(x))}^2x ;-|||-(2) lim _(xarrow 0)((1+2x))^dfrac (1{x)} ;-|||-(4) lim _(xarrow infty )((1-dfrac {1)(x))}^kx (k为正整数).

本题考查重要极限$\lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e$及其变形应用。解题核心思路是将所求极限转化为标准形式，通过变量替换或调整指数，结合对数恒等式进行化简。关键点在于：

1. 识别底数与指数的关联，构造与标准极限相似的结构；
2. 灵活运用对数恒等式，如$a^b = e^{b \ln a}$；
3. 处理无穷远处的极限时，通过变量替换转化为$x \to 0$的形式。

第（1）题

关键步骤：
将底数$(1-x)$改写为$(1 + (-x))$，指数$\frac{1}{x}$与标准极限形式对比，调整符号。

改写底数

$\lim_{x \to 0}(1 - x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0}(1 + (-x))^{\frac{1}{x}}$.

调整指数形式

令$t = -x$，当$x \to 0$时，$t \to 0$，则原式变为：
$\lim_{t \to 0}(1 + t)^{\frac{-1}{t}} = \left( \lim_{t \to 0}(1 + t)^{\frac{1}{t}} \right)^{-1} = e^{-1}.$

第（2）题

关键步骤：
将指数$\frac{1}{x}$与底数中的$2x$关联，构造标准极限形式。

提取系数

$\lim_{x \to 0}(1 + 2x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0}\left[(1 + 2x)^{\frac{1}{2x}}\right]^{2}$.

应用标准极限

令$t = 2x$，当$x \to 0$时，$t \to 0$，则：
$\left( \lim_{t \to 0}(1 + t)^{\frac{1}{t}} \right)^{2} = e^{2}.$

第（3）题

关键步骤：
化简底数为$(1 + \frac{1}{x})$，调整指数与变量替换。

化简底数

$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2x}$.

应用标准极限

令$t = \frac{1}{x}$，当$x \to \infty$时，$t \to 0$，则：
$\lim_{t \to 0}(1 + t)^{\frac{2}{t}} = \left( \lim_{t \to 0}(1 + t)^{\frac{1}{t}} \right)^{2} = e^{2}.$

第（4）题

关键步骤：
将底数$(1 - \frac{1}{x})$改写为$(1 + (-\frac{1}{x}))$，调整指数为$kx$。

改写底数

$\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{kx} = \lim_{x \to \infty}\left(1 + \left(-\frac{1}{x}\right)\right)^{kx}$.

应用标准极限

令$t = \frac{1}{x}$，当$x \to \infty$时，$t \to 0$，则：
$\lim_{t \to 0}(1 - t)^{\frac{k}{t}} = \left( \lim_{t \to 0}(1 - t)^{\frac{1}{t}} \right)^{k} = e^{-k}.$