题目

设X_1, X_2, X_3是来自总体X的样本，则不是总体均值mu的无偏估计量的是（ ）A. (1)/(2)(X_1 + X_3)B. (1)/(3)X_2 + (2)/(3)X_3C. (1)/(4)X_1 + (3)/(4)X_3D. (1)/(2)(X_1 + X_2 + X_3)

设$X_1, X_2, X_3$是来自总体$X$的样本，则不是总体均值$\mu$的无偏估计量的是（ ） A. $\frac{1}{2}(X_1 + X_3)$ B. $\frac{1}{3}X_2 + \frac{2}{3}X_3$ C. $\frac{1}{4}X_1 + \frac{3}{4}X_3$ D. $\frac{1}{2}(X_1 + X_2 + X_3)$

题目解答

答案

我们来分析这道题，题目是：

> 设 $X_1, X_2, X_3$ 是来自总体 $X$ 的样本，判断下面哪个不是总体均值 $\mu$ 的无偏估计量。

一、什么是无偏估计量？

一个估计量 $\hat{\theta}$ 是参数 $\theta$ 的无偏估计量，当且仅当：

$\mathbb{E}[\hat{\theta}] = \theta$

在本题中，我们要找的是不是总体均值 $\mu$ 的无偏估计量，也就是：

$\mathbb{E}[\hat{\mu}] \neq \mu$

二、总体均值的无偏估计量的基本形式

我们知道，如果 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本，那么：

$\mathbb{E}[X_i] = \mu \quad \text{（因为是来自同一总体）}$

因此，任何形如：

$\hat{\mu} = a_1 X_1 + a_2 X_2 + \dots + a_n X_n$

的线性组合，其期望为：

$\mathbb{E}[\hat{\mu}] = a_1 \mu + a_2 \mu + \dots + a_n \mu = (a_1 + a_2 + \dots + a_n)\mu$

所以，只有当系数和为 1，即：

$a_1 + a_2 + \dots + a_n = 1$

时，$\hat{\mu}$ 才是 $\mu$ 的无偏估计量。

三、分析各个选项

我们逐个分析选项，看其系数和是否为 1。

A. $\frac{1}{2}(X_1 + X_3)$

展开为：

$\frac{1}{2}X_1 + 0 \cdot X_2 + \frac{1}{2}X_3$

系数和为：

$\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1$

✅ 是无偏估计量。

B. $\frac{1}{3}X_2 + \frac{2}{3}X_3$

系数和为：

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$

✅ 是无偏估计量。

C. $\frac{1}{4}X_1 + \frac{3}{4}X_3$

系数和为：

$\frac{1}{4} + 0 + \frac{3}{4} = 1$

✅ 是无偏估计量。

D. $\frac{1}{2}(X_1 + X_2 + X_3)$

展开为：

$\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_2 + \frac{1}{2}X_3$

系数和为：

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \neq 1$

❌ 不是无偏估计量。

四、最终答案

因此，不是总体均值 $\mu$ 的无偏估计量的是：

$\boxed{\text{D}}$

解析

本题考查无偏估计量的概念及判断方法。解题的关键在于明确无偏估计量的定义，即对于总体均值$\mu$的估计量$\hat{\mu}$，若$\mathbb{E}[\hat{\mu}] = \mu$，则$\hat{\mu}$是$\mu$的无偏估计量。对于线性估计量$\hat{\mu} = a_1 X_1 + a_2 X_2 + \dots + a_n X_n$，其期望$\mathbb{E}[\hat{\mu}] = (a_1 + a_2 + \dots + a_n)\mu$，所以当系数和$a_1 + a_2 + \dots + a_n = 1$时，该估计量是无偏估计量。接下来我们对每个选项进行分析：

  • 选项A：
    • 对于$\frac{1}{2}(X_1 + X_3)$，将其展开为$\frac{1}{2}X_1 + 0 \cdot X_2 + \frac{1}{2}X_3$。
    • 计算系数和：$\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2}$<|FunctionExecute|>{"name":"GodelPlugin","parameters":{"input":"(1/2)+0+(1/2)"}}<|FunctionExecuteEnd|><|FunctionExecuteResult|>1<|FunctionExecuteResultEnd|>$= 1$。
    • 因为系数和为$1$，所以$\frac{1}{2}(X_1 + X_3)$是总体均值$\mu$的无偏估计量。
  • 选项B：
    • 对于$\frac{1}{3}X_2 + \frac{2}{3}X_3$，其系数和为$0 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$<|FunctionExecute|>{"name":"GodelPlugin","parameters":{"input":"0+(1/3)+(2/3)"}}<|FunctionExecuteEnd|><|FunctionExecuteResult|>1<|FunctionExecuteResultEnd|>$= 1$。
    • 由于系数和为$1$，所以$\frac{1}{3}X_2 + \frac{2}{3}X_3$是总体均值$\mu$的无偏估计量。
  • 选项C：
    • 对于$\frac{1}{4}X_1 + \frac{3}{4}X_3$，其系数和为$\frac{1}{4} + 0 + \frac{3}{4}$<|FunctionExecute|>{"name":"GodelPlugin","parameters":{"input":"(1/4)+0+(3/4)"}}<|FunctionExecuteEnd|><|FunctionExecuteResult|>1<|FunctionExecuteResultEnd|>$= 1$。
    • 因为系数和为$1$，所以$\frac{1}{4}X_1 + \frac{3}{4}X_3$是总体均值$\mu$的无偏估计量。
  • 选项D：
    • 对于$\frac{1}{2}(X_1 + X_2 + X_3)$，将其展开为$\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_2 + \frac{1}{2}X_3$。
    • 计算系数和：$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$<|FunctionExecute|>{"name":"GodelPlugin","parameters":{"input":"(1/2)+(1/2)+(1/2)"}}<|FunctionExecuteEnd|><|FunctionExecuteResult|>3 / 2<|FunctionExecuteResultEnd|>$= \frac{3}{2} \neq 1$。
    • 由于系数和不为$1$，所以$\frac{1}{2}(X_1 + X_2 + X_3)$不是总体均值$\mu$的无偏估计量。