题目

已知三个随机变量X，Y，Z相互独立，其中sim B(5,0.2)，sim B(5,0.2)，sim B(5,0.2)，则sim B(5,0.2).A.13B.2C.10D.28

已知三个随机变量X，Y，Z相互独立，其中，，，则.

A.13

B.2

C.10

D.28

题目解答

答案

表示X服从参数为的二项分布，则X的数学期望为，表示Y服从参数为的泊松分布，则Y的数学期望为，表示Z服从参数为的正态分布，则Z的数学期望为，随机变量X，Y，Z相互独立，则，则，因此选择D。

解析

考查要点：本题主要考查随机变量期望的线性性质及独立随机变量乘积的期望计算，涉及二项分布、泊松分布、正态分布的期望公式。

解题核心思路：

  1. 确定各随机变量的期望：根据分布类型直接应用期望公式。
  2. 利用期望的线性性：将表达式分解为线性组合，逐项计算期望。
  3. 处理独立变量的乘积：利用独立性将$E(YZ)$转化为$E(Y)E(Z)$。

破题关键点：

  • 独立性是简化$E(YZ)$的关键，需明确独立随机变量的乘积期望等于各自期望的乘积。
  • 正确代入公式：注意二项分布、泊松分布、正态分布的期望公式。

步骤1：计算各随机变量的期望

  1. 二项分布$X \sim B(5, 0.2)$：
    $E(X) = n \cdot p = 5 \times 0.2 = 1.$
  2. 泊松分布$Y \sim \pi(3)$：
    $E(Y) = \lambda = 3.$
  3. 正态分布$Z \sim N(9, 4)$：
    $E(Z) = \mu = 9.$

步骤2：分解表达式并计算期望

目标表达式为$3X + YZ - 2$，根据期望的线性性：
$E(3X + YZ - 2) = 3E(X) + E(YZ) - 2.$

步骤3：处理乘积项$E(YZ)$

由于$Y$与$Z$独立，故：
$E(YZ) = E(Y) \cdot E(Z) = 3 \times 9 = 27.$

步骤4：代入数值计算

$E(3X + YZ - 2) = 3 \times 1 + 27 - 2 = 3 + 27 - 2 = 28.$