题目

设A是实方阵，若A^TA=0，则A=0.bigcirc正确bigcirc错误

设A是实方阵，若$A^{T}A=0$，则A=0. $\bigcirc$正确 $\bigcirc$错误

题目解答

答案

设 $A$ 为 $m \times n$ 的实矩阵，其元素为 $a_{ij}$。则 $A^T A$ 的 $(i, i)$-元素为： \[ (A^T A)_{ii} = \sum_{k=1}^m a_{ki}^2 \] 由 $A^T A = 0$ 知所有对角元为零，即： \[ \sum_{k=1}^m a_{ki}^2 = 0 \quad \text{对所有 } i \] 由于实数平方非负，故 $a_{ki}^2 = 0$ 对所有 $k, i$，即 $a_{ki} = 0$。因此，$A$ 的所有元素为零，即 $A = 0$。 答案：$\boxed{\text{正确}}$

解析

考查要点：本题主要考查矩阵乘法的性质，特别是实矩阵转置乘积的非负性，以及矩阵元素与零矩阵的关系。

解题核心思路：

  1. 理解转置矩阵乘积的结构：对于实矩阵$A$，$A^T A$的对角线元素是$A$各列元素的平方和。
  2. 非负性分析：实数的平方非负，因此若$A^T A = 0$，则所有列向量的平方和为零，进而每个元素必须为零。
  3. 结论推导：通过元素分析得出$A$必须为零矩阵。

破题关键点：

  • 对角线元素的平方和性质是核心突破口，直接关联到矩阵元素的取值范围。

设$A$为$m \times n$的实矩阵，其元素为$a_{ki}$（$k$为行标，$i$为列标）。计算$A^T A$的$(i, i)$-元素：
$(A^T A)_{ii} = \sum_{k=1}^m a_{ki}^2$
由$A^T A = 0$可知，所有对角元为零：
$\sum_{k=1}^m a_{ki}^2 = 0 \quad \text{对所有 } i$
由于实数的平方非负，故$a_{ki}^2 = 0$对所有$k, i$成立，即$a_{ki} = 0$。因此，$A$的所有元素为零，即$A = 0$。